Страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

97 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$

б) $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$

в) $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$

г) $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$

д) $\frac{\frac{1}{a} - b}{\frac{1}{b} - a}$

е) $\frac{u - 3}{\frac{u}{v} - \frac{3}{uv}}$

Образец. $\frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{b}{a} + 1} = \frac{\left(\frac{a}{b} + 1\right) ab}{\left(\frac{b}{a} + 1\right) ab} = \frac{a^2 + ab}{b^2 + ab} = \frac{a(a + b)}{b(a + b)} = \frac{a}{b}$

а)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}{2 - \frac{1}{3}}$, умножим его числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей всех "маленьких" дробей, то есть на НОК(3, 2) = 6. Это позволит избавиться от многоэтажности дроби.

$\frac{(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) \cdot 6}{(2 - \frac{1}{3}) \cdot 6} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 6 - \frac{1}{2} \cdot 6}{2 \cdot 6 - \frac{1}{3} \cdot 6} = \frac{4 - 3}{12 - 2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$.

б)

Для упрощения выражения $\frac{3 + \frac{p}{q}}{3 - \frac{p}{q}}$, умножим числитель и знаменатель основной дроби на знаменатель внутренней дроби, то есть на $q$.

$\frac{(3 + \frac{p}{q}) \cdot q}{(3 - \frac{p}{q}) \cdot q} = \frac{3 \cdot q + \frac{p}{q} \cdot q}{3 \cdot q - \frac{p}{q} \cdot q} = \frac{3q + p}{3q - p}$

Ответ: $\frac{3q + p}{3q - p}$.

в)

В выражении $\frac{\frac{1}{y} - x}{\frac{1}{y} + x}$ умножим числитель и знаменатель на $y$, чтобы упростить его.

$\frac{(\frac{1}{y} - x) \cdot y}{(\frac{1}{y} + x) \cdot y} = \frac{\frac{1}{y} \cdot y - x \cdot y}{\frac{1}{y} \cdot y + x \cdot y} = \frac{1 - xy}{1 + xy}$

Ответ: $\frac{1 - xy}{1 + xy}$.

г)

Чтобы упростить выражение $\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{x}{y} + \frac{y}{x}}$, умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей $x$ и $y$, то есть на $xy$.

$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) \cdot xy}{(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \cdot xy} = \frac{\frac{x}{y} \cdot xy - \frac{y}{x} \cdot xy}{\frac{x}{y} \cdot xy + \frac{y}{x} \cdot xy} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$.

д)

Для упрощения дроби $\frac{\frac{1}{a} - b}{\frac{1}{b} - a}$ умножим числитель и знаменатель на $ab$.

$\frac{(\frac{1}{a} - b) \cdot ab}{(\frac{1}{b} - a) \cdot ab} = \frac{\frac{1}{a} \cdot ab - b \cdot ab}{\frac{1}{b} \cdot ab - a \cdot ab} = \frac{b - ab^2}{a - a^2b}$

Теперь вынесем общий множитель в числителе ($b$) и в знаменателе ($a$):

$\frac{b(1 - ab)}{a(1 - ab)}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 - ab)$, при условии что $1 - ab \ne 0$.

$\frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$.

е)

В выражении $\frac{u - 3}{\frac{1}{v} - \frac{3}{uv}}$ умножим числитель и знаменатель на наименьший общий знаменатель дробей в знаменателе, то есть на $uv$.

$\frac{(u - 3) \cdot uv}{(\frac{1}{v} - \frac{3}{uv}) \cdot uv} = \frac{uv(u - 3)}{\frac{1}{v} \cdot uv - \frac{3}{uv} \cdot uv} = \frac{uv(u - 3)}{u - 3}$

Сократим дробь на общий множитель $(u-3)$, при условии что $u-3 \ne 0$.

$uv$

Ответ: $uv$.

98 Выразите из формулы каждую переменную через остальные переменные:

а) $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$;

б) $\frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$.

а) Дана формула: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}$. Необходимо выразить каждую переменную ($R, r_1, r_2$) через остальные.

1. Выражение переменной $R$
Чтобы выразить $R$, сначала найдем общий знаменатель для дробей в правой части уравнения: $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{r_2}{r_1 r_2} + \frac{r_1}{r_1 r_2} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$.
Теперь формула имеет вид: $\frac{1}{R} = \frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2}$.
Чтобы найти $R$, возьмем обратную величину (перевернем) от обеих частей уравнения:
$R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$.

2. Выражение переменной $r_1$
Из исходной формулы выделим слагаемое с $r_1$:
$\frac{1}{r_1} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_2}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{R} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2}{R r_2} - \frac{R}{R r_2} = \frac{r_2 - R}{R r_2}$.
Получаем: $\frac{1}{r_1} = \frac{r_2 - R}{R r_2}$.
Теперь, чтобы найти $r_1$, перевернем обе части уравнения:
$r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}$.

3. Выражение переменной $r_2$
Аналогично выражению $r_1$, выделим слагаемое с $r_2$ из исходной формулы:
$\frac{1}{r_2} = \frac{1}{R} - \frac{1}{r_1}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$\frac{1}{R} - \frac{1}{r_1} = \frac{r_1}{R r_1} - \frac{R}{R r_1} = \frac{r_1 - R}{R r_1}$.
Получаем: $\frac{1}{r_2} = \frac{r_1 - R}{R r_1}$.
Перевернем обе части уравнения, чтобы найти $r_2$:
$r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}$.

Ответ: $R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}$; $r_1 = \frac{R r_2}{r_2 - R}$; $r_2 = \frac{R r_1}{r_1 - R}$.

б) Дана формула: $\frac{1}{D} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}$. Необходимо выразить каждую переменную ($D, d_1, d_2$) через остальные.

Эта формула имеет аналогичную структуру с формулой из пункта а), поэтому все преобразования будут такими же.

1. Выражение переменной $D$
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{D} = \frac{d_2 + d_1}{d_1 d_2}$.
Возьмем обратную величину от обеих частей: $D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

2. Выражение переменной $d_1$
Выделим слагаемое с $d_1$: $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_2}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_1} = \frac{d_2 - D}{D d_2}$.
Возьмем обратную величину: $d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}$.

3. Выражение переменной $d_2$
Выделим слагаемое с $d_2$: $\frac{1}{d_2} = \frac{1}{D} - \frac{1}{d_1}$.
Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{1}{d_2} = \frac{d_1 - D}{D d_1}$.
Возьмем обратную величину: $d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}$.

Ответ: $D = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$; $d_1 = \frac{D d_2}{d_2 - D}$; $d_2 = \frac{D d_1}{d_1 - D}$.

Упростите выражение (99—100).

99 a) $ \left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1} \right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2}; $

б) $ \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a} \right); $

В) $ \left( \frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy} \right) : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} - \frac{x}{x^2-y^2}; $

Г) $ \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left( \frac{2}{2b+b^2} - \frac{b}{4+2b} \right); $

a) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Заметим, что $x-1 = -(1-x)$, поэтому $\frac{x}{x-1} = -\frac{x}{1-x}$.
$\frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1} = \frac{x(1-x)}{(x+1)(1-x)} + \frac{x^2+1}{1-x^2} + \frac{x}{1-x} = \frac{x-x^2}{1-x^2} + \frac{x^2+1}{1-x^2} + \frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{x-x^2+x^2+1+x+x^2}{1-x^2} = \frac{x^2+2x+1}{1-x^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x+1)^2}{(1-x)(1+x)} = \frac{x+1}{1-x}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{x+x^2}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^2}$.
$\frac{x+1}{1-x} : \frac{x(1+x)}{(1-x)^2} = \frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{(1-x)^2}{x(1+x)} = \frac{(x+1)(1-x)^2}{(1-x)x(1+x)} = \frac{1-x}{x}$.
Ответ: $\frac{1-x}{x}$

б) Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. Учтем, что $5-a = -(a-5)$, поэтому $-\frac{5}{5-a} = \frac{5}{a-5}$.
$\frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a} = \frac{5(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} + \frac{5(a+5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{5a-25-(a^2+25)+5a+25}{a^2-25} = \frac{10a - a^2 - 25}{a^2-25}$.
Вынесем минус в числителе: $\frac{-(a^2-10a+25)}{a^2-25} = \frac{-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)} = -\frac{a-5}{a+5} = \frac{5-a}{a+5}$.
Теперь выполним деление. Упростим делимое: $\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} = \frac{(a-5)^2}{a(a+5)}$.
$\frac{(a-5)^2}{a(a+5)} : \frac{5-a}{a+5} = \frac{(a-5)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a}$.
Так как $(a-5)^2 = (5-a)^2$, можем сократить: $\frac{(5-a)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a} = \frac{5-a}{a}$.
Ответ: $\frac{5-a}{a}$

в) Выполним действия в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy = x(x-y)$ и $y^2-xy = y(y-x) = -y(x-y)$. Общий знаменатель $xy(x-y)$.
$\frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{y(1+x)}{xy(x-y)} + \frac{x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} = \frac{(x+y)^2}{xy(x-y)}$.
$\frac{x+y}{xy(x-y)} : \frac{(x+y)^2}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y}$.
Наконец, выполним вычитание: $\frac{1}{x+y} - \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x-y)(x+y)} = \frac{1(x-y) - x}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y-x}{x^2-y^2} = \frac{-y}{x^2-y^2}$.
Ответ: $\frac{-y}{x^2-y^2}$

г) Порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение, затем сложение.
1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели: $2b+b^2=b(2+b)$ и $4+2b=2(2+b)$. Общий знаменатель $2b(b+2)$.
$\frac{2}{b(b+2)} - \frac{b}{2(b+2)} = \frac{2 \cdot 2 - b \cdot b}{2b(b+2)} = \frac{4-b^2}{2b(b+2)} = \frac{(2-b)(2+b)}{2b(b+2)} = \frac{2-b}{2b}$.
2. Выполним умножение. Упростим второй множитель: $\frac{4b}{4-4b+b^2} = \frac{4b}{(2-b)^2}$.
$\frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \frac{2-b}{2b} = \frac{2}{2-b}$.
3. Выполним сложение с первым слагаемым.
$\frac{4}{b^2-4} + \frac{2}{2-b} = \frac{4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2}{b-2}$.
Приведем к общему знаменателю $(b-2)(b+2)$:
$\frac{4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2(b+2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{4 - (2b+4)}{(b-2)(b+2)} = \frac{4-2b-4}{b^2-4} = \frac{-2b}{b^2-4}$.
Ответ: $\frac{-2b}{b^2-4}$

100 а) $(m + 3 + \frac{9}{m-3}) : (\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2});$

б) $(\frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1}) : (\frac{1}{n+1} + n - 1);$

в) $(\frac{x^3}{y^3} + 1) : (\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

г) $(1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2}) : (\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3}).$

а) $\left( m + 3 + \frac{9}{m-3} \right) : \left( \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Для этого приведем слагаемые к общему знаменателю $m-3$.

$m + 3 + \frac{9}{m-3} = \frac{(m+3)(m-3)}{m-3} + \frac{9}{m-3} = \frac{m^2-9+9}{m-3} = \frac{m^2}{m-3}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $(3-m)^2 = (m-3)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(m-3)^2$.

$\frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(3-m)^2} = \frac{m}{m-3} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m(m-3)}{(m-3)^2} + \frac{3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2-3m+3m}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{(m-3)^2}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{m^2}{m-3} : \frac{m^2}{(m-3)^2} = \frac{m^2}{m-3} \cdot \frac{(m-3)^2}{m^2} = \frac{m^2 \cdot (m-3)^2}{(m-3) \cdot m^2} = m-3$

Ответ: $m-3$.

б) $\left( \frac{n}{1+2n+n^2} - \frac{n}{n+1} \right) : \left( \frac{1}{n+1} + n - 1 \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $1+2n+n^2 = (1+n)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю $(n+1)^2$.

$\frac{n}{(1+n)^2} - \frac{n}{n+1} = \frac{n}{(n+1)^2} - \frac{n(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{n - (n^2+n)}{(n+1)^2} = \frac{n - n^2 - n}{(n+1)^2} = \frac{-n^2}{(n+1)^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $n+1$.

$\frac{1}{n+1} + n - 1 = \frac{1}{n+1} + \frac{(n-1)(n+1)}{n+1} = \frac{1 + (n^2-1)}{n+1} = \frac{1+n^2-1}{n+1} = \frac{n^2}{n+1}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{-n^2}{(n+1)^2} : \frac{n^2}{n+1} = \frac{-n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{n+1}{n^2} = -\frac{n^2(n+1)}{(n+1)^2 n^2} = -\frac{1}{n+1}$

Ответ: $-\frac{1}{n+1}$.

в) $\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке. Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$\frac{x^3}{y^3} + 1 = \frac{x^3+y^3}{y^3} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $xy^2$.

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot xy}{xy^2} + \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} : \frac{x^2-xy+y^2}{xy^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{y^3} \cdot \frac{xy^2}{x^2-xy+y^2} = \frac{(x+y) \cdot x}{y} = \frac{x(x+y)}{y}$

Ответ: $\frac{x(x+y)}{y}$.

г) $\left( 1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} \right) : \left( \frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} \right)$

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя слагаемые к общему знаменателю $u^2$.

$1 + \frac{v}{u} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2}{u^2} + \frac{vu}{u^2} + \frac{v^2}{u^2} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $vu^3$. В числителе получится разность кубов $u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2)$.

$\frac{1}{v} - \frac{v^2}{u^3} = \frac{u^3}{vu^3} - \frac{v^2 \cdot v}{vu^3} = \frac{u^3-v^3}{vu^3} = \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3}$

3. Выполним деление полученных выражений.

$\frac{u^2+uv+v^2}{u^2} : \frac{(u-v)(u^2+uv+v^2)}{vu^3} = \frac{u^2+uv+v^2}{u^2} \cdot \frac{vu^3}{(u-v)(u^2+uv+v^2)} = \frac{vu}{u-v}$

Ответ: $\frac{uv}{u-v}$.