Номер 99, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 99, страница 31.

Условие.

Упростите выражение (99—100).

99 a) $ \left( \frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1} \right) : \frac{x+x^2}{(1-x)^2}; $

б) $ \frac{(a-5)^2}{a^2+5a} : \left( \frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a} \right); $

В) $ \left( \frac{1+x}{x^2-xy} - \frac{1-y}{y^2-xy} \right) : \frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} - \frac{x}{x^2-y^2}; $

Г) $ \frac{4}{b^2-4} + \frac{4b}{4-4b+b^2} \cdot \left( \frac{2}{2b+b^2} - \frac{b}{4+2b} \right); $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю $1-x^2 = (1-x)(1+x)$. Заметим, что $x-1 = -(1-x)$, поэтому $\frac{x}{x-1} = -\frac{x}{1-x}$.
$\frac{x}{x+1} + \frac{x^2+1}{1-x^2} - \frac{x}{x-1} = \frac{x(1-x)}{(x+1)(1-x)} + \frac{x^2+1}{1-x^2} + \frac{x}{1-x} = \frac{x-x^2}{1-x^2} + \frac{x^2+1}{1-x^2} + \frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{x-x^2+x^2+1+x+x^2}{1-x^2} = \frac{x^2+2x+1}{1-x^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:$\frac{(x+1)^2}{(1-x)(1+x)} = \frac{x+1}{1-x}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{x+x^2}{(1-x)^2} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^2}$.
$\frac{x+1}{1-x} : \frac{x(1+x)}{(1-x)^2} = \frac{x+1}{1-x} \cdot \frac{(1-x)^2}{x(1+x)} = \frac{(x+1)(1-x)^2}{(1-x)x(1+x)} = \frac{1-x}{x}$.
Ответ: $\frac{1-x}{x}$

б) Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $a^2-25 = (a-5)(a+5)$. Учтем, что $5-a = -(a-5)$, поэтому $-\frac{5}{5-a} = \frac{5}{a-5}$.
$\frac{5}{a+5} - \frac{a^2+25}{a^2-25} - \frac{5}{5-a} = \frac{5(a-5)}{(a+5)(a-5)} - \frac{a^2+25}{(a-5)(a+5)} + \frac{5(a+5)}{(a-5)(a+5)} = \frac{5a-25-(a^2+25)+5a+25}{a^2-25} = \frac{10a - a^2 - 25}{a^2-25}$.
Вынесем минус в числителе: $\frac{-(a^2-10a+25)}{a^2-25} = \frac{-(a-5)^2}{(a-5)(a+5)} = -\frac{a-5}{a+5} = \frac{5-a}{a+5}$.
Теперь выполним деление. Упростим делимое: $\frac{(a-5)^2}{a^2+5a} = \frac{(a-5)^2}{a(a+5)}$.
$\frac{(a-5)^2}{a(a+5)} : \frac{5-a}{a+5} = \frac{(a-5)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a}$.
Так как $(a-5)^2 = (5-a)^2$, можем сократить: $\frac{(5-a)^2}{a(a+5)} \cdot \frac{a+5}{5-a} = \frac{5-a}{a}$.
Ответ: $\frac{5-a}{a}$

в) Выполним действия в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy = x(x-y)$ и $y^2-xy = y(y-x) = -y(x-y)$. Общий знаменатель $xy(x-y)$.
$\frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{y(1+x)}{xy(x-y)} + \frac{x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy+x-xy}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{x^2+y^2+2xy}{x^2y-xy^2} = \frac{(x+y)^2}{xy(x-y)}$.
$\frac{x+y}{xy(x-y)} : \frac{(x+y)^2}{xy(x-y)} = \frac{x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y}$.
Наконец, выполним вычитание: $\frac{1}{x+y} - \frac{x}{x^2-y^2} = \frac{1}{x+y} - \frac{x}{(x-y)(x+y)} = \frac{1(x-y) - x}{(x-y)(x+y)} = \frac{x-y-x}{x^2-y^2} = \frac{-y}{x^2-y^2}$.
Ответ: $\frac{-y}{x^2-y^2}$

г) Порядок действий: сначала действия в скобках, затем умножение, затем сложение.
1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели: $2b+b^2=b(2+b)$ и $4+2b=2(2+b)$. Общий знаменатель $2b(b+2)$.
$\frac{2}{b(b+2)} - \frac{b}{2(b+2)} = \frac{2 \cdot 2 - b \cdot b}{2b(b+2)} = \frac{4-b^2}{2b(b+2)} = \frac{(2-b)(2+b)}{2b(b+2)} = \frac{2-b}{2b}$.
2. Выполним умножение. Упростим второй множитель: $\frac{4b}{4-4b+b^2} = \frac{4b}{(2-b)^2}$.
$\frac{4b}{(2-b)^2} \cdot \frac{2-b}{2b} = \frac{2}{2-b}$.
3. Выполним сложение с первым слагаемым.
$\frac{4}{b^2-4} + \frac{2}{2-b} = \frac{4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2}{b-2}$.
Приведем к общему знаменателю $(b-2)(b+2)$:
$\frac{4}{(b-2)(b+2)} - \frac{2(b+2)}{(b-2)(b+2)} = \frac{4 - (2b+4)}{(b-2)(b+2)} = \frac{4-2b-4}{b^2-4} = \frac{-2b}{b^2-4}$.
Ответ: $\frac{-2b}{b^2-4}$