Номер 102, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 102, страница 32.

Условие.

102 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:

а) $\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2} - \frac{b}{a^2-ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2+ab} - \frac{1}{a+b}\right)$ отрицательны;

б) $\frac{x^3-y^3}{2x+2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$ неотрицательны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы доказать, что значение выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменных, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $\left(\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b}\right)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2) = a(a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.
$a^2 - ab = a(a-b) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b$.
$b^2 + ab = b(b+a) \neq 0 \implies b \neq 0, a \neq -b$.
$a+b \neq 0$.
Итак, ОДЗ: $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.

Упростим выражение в первой скобке:
$\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab} = \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a(a-b)} = \frac{b^2 - b(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2 - ab - b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{a^2-b^2}$.

Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b} = \frac{a}{b(b+a)} - \frac{1}{a+b} = \frac{a - b}{b(a+b)}$.

Перемножим полученные результаты:
$\frac{-b}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-1}{a+b} \cdot \frac{1}{a+b} = -\frac{1}{(a+b)^2}$.

Проанализируем полученное выражение $-\frac{1}{(a+b)^2}$. В области допустимых значений $a+b \neq 0$, следовательно, $(a+b)^2$ всегда будет строго положительным числом. Тогда дробь $\frac{1}{(a+b)^2}$ также строго положительна. Выражение $-\frac{1}{(a+b)^2}$ является противоположным ему по знаку, а значит, всегда отрицательно.

Ответ: Выражение равно $-\frac{1}{(a+b)^2}$, что является отрицательным числом при всех допустимых значениях $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения неотрицательно при всех допустимых значениях переменных, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$.

ОДЗ: знаменатели дробей и делитель не могут быть равны нулю.
$2x+2y = 2(x+y) \neq 0 \implies x \neq -y$.
$x^2+xy+y^2 = (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 \neq 0 \implies (x,y) \neq (0,0)$.
$x-y \neq 0 \implies x \neq y$.
Делитель $\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$ не равен нулю. Это условие выполняется, если $x^2+y^2 \neq 0$, то есть $(x,y) \neq (0,0)$, что уже учтено.
Итак, ОДЗ: $x \neq y, x \neq -y, (x,y) \neq (0,0)$.

Выполним действия по порядку. Сначала умножение:
$\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{2(x+y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{2} = \frac{x^2-y^2}{2}$.

Теперь упростим делитель (выражение в скобках):
$\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$.

Выполним деление:
$\frac{x^2-y^2}{2} : \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2}{2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)} = \frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$.

Проанализируем полученный результат $\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$.
Числитель $(x^2-y^2)^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$).
Знаменатель $4(x^2+y^2)$. В области допустимых значений $(x,y) \neq (0,0)$, поэтому $x^2+y^2 > 0$. Следовательно, знаменатель $4(x^2+y^2)$ всегда строго положителен.
Частное от деления неотрицательного числа на строго положительное число всегда является неотрицательным числом.

Ответ: Выражение равно $\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$, что является неотрицательным числом при всех допустимых значениях $x$ и $y$, что и требовалось доказать.