Номер 104, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 104, страница 32.

Условие.

104 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) Дано: $x + \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

б) Дано: $x - \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

Образец. Дано: $x + \frac{2}{x} = y$. Выразим $x^2 + \frac{4}{x^2}$ через $y$:

$(x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = (x + \frac{2}{x})^2 - 4 = y^2 - 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дано равенство $x + \frac{1}{x} = y$. Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Для левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = y^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим средний член $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$. Тогда равенство примет вид:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь, чтобы найти искомое выражение, перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

Ответ: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

б)

Дано равенство $x - \frac{1}{x} = y$. Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, так же как и в предыдущем пункте, возведем обе части в квадрат. Для левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = y^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим средний член $-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = -2$. Тогда равенство примет вид:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь, чтобы найти искомое выражение, перенесем -2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$

Ответ: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.