Номер 103, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.5. Преобразование выражений, содержащих алгебраические дроби - номер 103, страница 32.

Условие.

103 Упростите выражение:

а) $(1 - z - \frac{2z}{z-1}) : (\frac{1}{z} + z) \cdot (\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3});$

б) $(a - 5 + \frac{a^2 + 7}{a+5}) \cdot (\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3}) : \frac{6a}{25-a^2};$

в) $\frac{a^3 - b^3}{2a + 2b} \cdot (\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}) : \frac{a^2 + ab + b^2}{(a+b)^2};$

г) $\frac{1}{x+y} + \frac{x^2 + y^2 - xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{xy - y^2}{x^3 + y^3} - \frac{1}{(x+y)^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Упростим выражение по действиям.

1. Выполним действие в первой скобке, приведя все слагаемые к общему знаменателю $z-1$:

$1 - z - \frac{2z}{z-1} = \frac{(1-z)(z-1)}{z-1} - \frac{2z}{z-1} = \frac{-(z-1)(z-1) - 2z}{z-1} = \frac{-(z^2-2z+1) - 2z}{z-1} = \frac{-z^2+2z-1-2z}{z-1} = \frac{-z^2-1}{z-1} = -\frac{z^2+1}{z-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{1}{z} + z = \frac{1+z^2}{z}$

3. Упростим выражение в третьей скобке, используя формулу разности квадратов:

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^2-1}{z^3} = \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$

4. Объединим полученные выражения. Деление заменяем на умножение на обратную дробь:

$\left(-\frac{z^2+1}{z-1}\right) : \left(\frac{z^2+1}{z}\right) \cdot \left(\frac{(z-1)(z+1)}{z^3}\right) = -\frac{z^2+1}{z-1} \cdot \frac{z}{z^2+1} \cdot \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$-\frac{\cancel{(z^2+1)} \cdot \cancel{z} \cdot \cancel{(z-1)}(z+1)}{\cancel{(z-1)} \cdot \cancel{(z^2+1)} \cdot z^{\cancel{3}2}} = -\frac{z+1}{z^2}$

Ответ: $-\frac{z+1}{z^2}$.

б)

Упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $a+5$ и используя формулу разности квадратов $(a-5)(a+5) = a^2-25$:

$a - 5 + \frac{a^2+7}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5) + a^2+7}{a+5} = \frac{a^2-25+a^2+7}{a+5} = \frac{2a^2-18}{a+5} = \frac{2(a^2-9)}{a+5} = \frac{2(a-3)(a+3)}{a+5}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$:

$\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3} = \frac{a(a+3) - a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+3a - (a^2-3a)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+3a-a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{6a}{(a-3)(a+3)}$

3. Теперь выполним умножение и деление. Делитель $\frac{6a}{25-a^2}$ преобразуем, разложив знаменатель $25-a^2 = (5-a)(5+a)$:

$\left(\frac{2(a-3)(a+3)}{a+5}\right) \cdot \left(\frac{6a}{(a-3)(a+3)}\right) : \frac{6a}{(5-a)(5+a)}$

Сначала умножение:

$\frac{2\cancel{(a-3)}\cancel{(a+3)}}{a+5} \cdot \frac{6a}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a+3)}} = \frac{12a}{a+5}$

Теперь деление (умножение на обратную дробь):

$\frac{12a}{a+5} \cdot \frac{(5-a)(5+a)}{6a}$

4. Сократим общие множители. Учтем, что $a+5=5+a$:

$\frac{\cancel{12a}^2}{\cancel{a+5}} \cdot \frac{(5-a)\cancel{(a+5)}}{\cancel{6a}_1} = 2(5-a) = 10-2a$

Ответ: $10-2a$.

в)

Упростим выражение по действиям.

1. Преобразуем первый множитель, используя формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и вынося общий множитель в знаменателе:

$\frac{a^3-b^3}{2a+2b} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a^2+2b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}$

3. Выполним умножение:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)} \cdot \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2) \cdot \cancel{2}(a^2+b^2)}{\cancel{2}(a+b) \cdot \cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2}$

4. Выполним деление, умножая на перевернутую дробь:

$\frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} : \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$

5. Сократим одинаковые множители:

$\frac{\cancel{(a^2+ab+b^2)}(a^2+b^2)}{\cancel{(a+b)^2}} \cdot \frac{\cancel{(a+b)^2}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = a^2+b^2$

Ответ: $a^2+b^2$.

г)

Упростим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Сначала выполним умножение дробей. Для этого разложим их числители и знаменатели на множители:

$y^2-x^2 = (y-x)(y+x) = -(x-y)(x+y)$

$xy-y^2 = y(x-y)$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

Числитель первой дроби $x^2+y^2-xy$ оставим как есть.

2. Подставим разложенные выражения в произведение и сократим:

$\frac{x^2-xy+y^2}{y^2-x^2} \cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3} = \frac{x^2-xy+y^2}{-(x-y)(x+y)} \cdot \frac{y(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{\cancel{x^2-xy+y^2}}{-\cancel{(x-y)}(x+y)} \cdot \frac{y\cancel{(x-y)}}{(x+y)\cancel{(x^2-xy+y^2)}} = -\frac{y}{(x+y)^2}$

3. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1}{x+y} + \left(-\frac{y}{(x+y)^2}\right) - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2$ и выполним вычитание:

$\frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)^2} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{x+y-y-1}{(x+y)^2} = \frac{x-1}{(x+y)^2}$

Ответ: $\frac{x-1}{(x+y)^2}$.