Страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

ДОКАЗЫВАЕМ (101–102)

101 Докажите, что значение выражения не зависит от значений переменных:

a) $\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left(\frac{a + 4b}{a^2 - 4ab} - \frac{a - 4b}{a^2 + 4ab}\right);$

б) $\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left(\frac{x - 3y}{x^2 + 3xy} + \frac{x + 3y}{3xy - x^2}\right).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Исходное выражение: $\frac{16b^2 - a^2}{4b} \cdot \left( \frac{a+4b}{a^2-4ab} - \frac{a-4b}{a^2+4ab} \right)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: $a^2-4ab = a(a-4b)$ и $a^2+4ab = a(a+4b)$. Общий знаменатель равен $a(a-4b)(a+4b)$.

$\frac{a+4b}{a(a-4b)} - \frac{a-4b}{a(a+4b)} = \frac{(a+4b)^2 - (a-4b)^2}{a(a-4b)(a+4b)}$

Числитель можно упростить, раскрыв скобки по формулам квадрата суммы и разности: $(a^2+8ab+16b^2) - (a^2-8ab+16b^2) = a^2+8ab+16b^2 - a^2+8ab-16b^2 = 16ab$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{16ab}{a(a-4b)(a+4b)} = \frac{16b}{(a-4b)(a+4b)}$.

Теперь выполним умножение. Преобразуем первый множитель, вынеся минус за скобки: $\frac{16b^2-a^2}{4b} = \frac{-(a^2-16b^2)}{4b} = \frac{-(a-4b)(a+4b)}{4b}$.

Перемножим полученные выражения: $\frac{-(a-4b)(a+4b)}{4b} \cdot \frac{16b}{(a-4b)(a+4b)}$.

Сократим общие множители $(a-4b)$, $(a+4b)$ и $b$: $\frac{-1 \cdot 16}{4} = -4$.

Значение выражения равно -4, оно не зависит от значений переменных $a$ и $b$.

Ответ: -4

б) Упростим выражение $\frac{3y}{9y^2 - x^2} : \left( \frac{x-3y}{x^2+3xy} + \frac{x+3y}{3xy-x^2} \right)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2+3xy = x(x+3y)$ и $3xy-x^2 = x(3y-x) = -x(x-3y)$.

$\frac{x-3y}{x(x+3y)} + \frac{x+3y}{-x(x-3y)} = \frac{x-3y}{x(x+3y)} - \frac{x+3y}{x(x-3y)}$.

Приведем к общему знаменателю $x(x+3y)(x-3y)$: $\frac{(x-3y)^2 - (x+3y)^2}{x(x+3y)(x-3y)}$.

Упростим числитель: $(x^2-6xy+9y^2) - (x^2+6xy+9y^2) = x^2-6xy+9y^2 - x^2-6xy-9y^2 = -12xy$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{-12xy}{x(x-3y)(x+3y)} = \frac{-12y}{(x-3y)(x+3y)}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь. Заметим, что $9y^2-x^2 = -(x^2-9y^2) = -(x-3y)(x+3y)$.

$\frac{3y}{9y^2-x^2} : \frac{-12y}{(x-3y)(x+3y)} = \frac{3y}{-(x-3y)(x+3y)} \cdot \frac{(x-3y)(x+3y)}{-12y}$.

Сократим общие множители $(x-3y)$, $(x+3y)$ и $y$: $\frac{3}{-1} \cdot \frac{1}{-12} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4}$.

Значение выражения равно $1/4$, оно не зависит от значений переменных $x$ и $y$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

102 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значения выражения:

а) $\left(\frac{b^2}{a^3-ab^2} - \frac{b}{a^2-ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2+ab} - \frac{1}{a+b}\right)$ отрицательны;

б) $\frac{x^3-y^3}{2x+2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$ неотрицательны.

а) Чтобы доказать, что значение выражения отрицательно при всех допустимых значениях переменных, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $\left(\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab}\right) \cdot \left(\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b}\right)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:
$a^3 - ab^2 = a(a^2 - b^2) = a(a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.
$a^2 - ab = a(a-b) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq b$.
$b^2 + ab = b(b+a) \neq 0 \implies b \neq 0, a \neq -b$.
$a+b \neq 0$.
Итак, ОДЗ: $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$.

Упростим выражение в первой скобке:
$\frac{b^2}{a^3 - ab^2} - \frac{b}{a^2 - ab} = \frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} - \frac{b}{a(a-b)} = \frac{b^2 - b(a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2 - ab - b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{a^2-b^2}$.

Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{a}{b^2 + ab} - \frac{1}{a+b} = \frac{a}{b(b+a)} - \frac{1}{a+b} = \frac{a - b}{b(a+b)}$.

Перемножим полученные результаты:
$\frac{-b}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{b(a+b)} = \frac{-1}{a+b} \cdot \frac{1}{a+b} = -\frac{1}{(a+b)^2}$.

Проанализируем полученное выражение $-\frac{1}{(a+b)^2}$. В области допустимых значений $a+b \neq 0$, следовательно, $(a+b)^2$ всегда будет строго положительным числом. Тогда дробь $\frac{1}{(a+b)^2}$ также строго положительна. Выражение $-\frac{1}{(a+b)^2}$ является противоположным ему по знаку, а значит, всегда отрицательно.

Ответ: Выражение равно $-\frac{1}{(a+b)^2}$, что является отрицательным числом при всех допустимых значениях $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

б) Чтобы доказать, что значение выражения неотрицательно при всех допустимых значениях переменных, необходимо сначала упростить это выражение.

Исходное выражение: $\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} : \left(\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y}\right)$.

ОДЗ: знаменатели дробей и делитель не могут быть равны нулю.
$2x+2y = 2(x+y) \neq 0 \implies x \neq -y$.
$x^2+xy+y^2 = (x+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 \neq 0 \implies (x,y) \neq (0,0)$.
$x-y \neq 0 \implies x \neq y$.
Делитель $\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$ не равен нулю. Это условие выполняется, если $x^2+y^2 \neq 0$, то есть $(x,y) \neq (0,0)$, что уже учтено.
Итак, ОДЗ: $x \neq y, x \neq -y, (x,y) \neq (0,0)$.

Выполним действия по порядку. Сначала умножение:
$\frac{x^3 - y^3}{2x + 2y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{2(x+y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{2} = \frac{x^2-y^2}{2}$.

Теперь упростим делитель (выражение в скобках):
$\frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2}{x^2-y^2} = \frac{2x^2+2y^2}{x^2-y^2} = \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}$.

Выполним деление:
$\frac{x^2-y^2}{2} : \frac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2}{2} \cdot \frac{x^2-y^2}{2(x^2+y^2)} = \frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$.

Проанализируем полученный результат $\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$.
Числитель $(x^2-y^2)^2$ является квадратом числа, поэтому он всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$).
Знаменатель $4(x^2+y^2)$. В области допустимых значений $(x,y) \neq (0,0)$, поэтому $x^2+y^2 > 0$. Следовательно, знаменатель $4(x^2+y^2)$ всегда строго положителен.
Частное от деления неотрицательного числа на строго положительное число всегда является неотрицательным числом.

Ответ: Выражение равно $\frac{(x^2-y^2)^2}{4(x^2+y^2)}$, что является неотрицательным числом при всех допустимых значениях $x$ и $y$, что и требовалось доказать.

103 Упростите выражение:

а) $(1 - z - \frac{2z}{z-1}) : (\frac{1}{z} + z) \cdot (\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3});$

б) $(a - 5 + \frac{a^2 + 7}{a+5}) \cdot (\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3}) : \frac{6a}{25-a^2};$

в) $\frac{a^3 - b^3}{2a + 2b} \cdot (\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b}) : \frac{a^2 + ab + b^2}{(a+b)^2};$

г) $\frac{1}{x+y} + \frac{x^2 + y^2 - xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{xy - y^2}{x^3 + y^3} - \frac{1}{(x+y)^2}.$

Упростим выражение по действиям.

1. Выполним действие в первой скобке, приведя все слагаемые к общему знаменателю $z-1$:

$1 - z - \frac{2z}{z-1} = \frac{(1-z)(z-1)}{z-1} - \frac{2z}{z-1} = \frac{-(z-1)(z-1) - 2z}{z-1} = \frac{-(z^2-2z+1) - 2z}{z-1} = \frac{-z^2+2z-1-2z}{z-1} = \frac{-z^2-1}{z-1} = -\frac{z^2+1}{z-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{1}{z} + z = \frac{1+z^2}{z}$

3. Упростим выражение в третьей скобке, используя формулу разности квадратов:

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z^3} = \frac{z^2-1}{z^3} = \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$

4. Объединим полученные выражения. Деление заменяем на умножение на обратную дробь:

$\left(-\frac{z^2+1}{z-1}\right) : \left(\frac{z^2+1}{z}\right) \cdot \left(\frac{(z-1)(z+1)}{z^3}\right) = -\frac{z^2+1}{z-1} \cdot \frac{z}{z^2+1} \cdot \frac{(z-1)(z+1)}{z^3}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$-\frac{\cancel{(z^2+1)} \cdot \cancel{z} \cdot \cancel{(z-1)}(z+1)}{\cancel{(z-1)} \cdot \cancel{(z^2+1)} \cdot z^{\cancel{3}2}} = -\frac{z+1}{z^2}$

Ответ: $-\frac{z+1}{z^2}$.

Упростим выражение по действиям.

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя к общему знаменателю $a+5$ и используя формулу разности квадратов $(a-5)(a+5) = a^2-25$:

$a - 5 + \frac{a^2+7}{a+5} = \frac{(a-5)(a+5) + a^2+7}{a+5} = \frac{a^2-25+a^2+7}{a+5} = \frac{2a^2-18}{a+5} = \frac{2(a^2-9)}{a+5} = \frac{2(a-3)(a+3)}{a+5}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$:

$\frac{a}{a-3} - \frac{a}{a+3} = \frac{a(a+3) - a(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+3a - (a^2-3a)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a^2+3a-a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{6a}{(a-3)(a+3)}$

3. Теперь выполним умножение и деление. Делитель $\frac{6a}{25-a^2}$ преобразуем, разложив знаменатель $25-a^2 = (5-a)(5+a)$:

$\left(\frac{2(a-3)(a+3)}{a+5}\right) \cdot \left(\frac{6a}{(a-3)(a+3)}\right) : \frac{6a}{(5-a)(5+a)}$

Сначала умножение:

$\frac{2\cancel{(a-3)}\cancel{(a+3)}}{a+5} \cdot \frac{6a}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a+3)}} = \frac{12a}{a+5}$

Теперь деление (умножение на обратную дробь):

$\frac{12a}{a+5} \cdot \frac{(5-a)(5+a)}{6a}$

4. Сократим общие множители. Учтем, что $a+5=5+a$:

$\frac{\cancel{12a}^2}{\cancel{a+5}} \cdot \frac{(5-a)\cancel{(a+5)}}{\cancel{6a}_1} = 2(5-a) = 10-2a$

Ответ: $10-2a$.

Упростим выражение по действиям.

1. Преобразуем первый множитель, используя формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и вынося общий множитель в знаменателе:

$\frac{a^3-b^3}{2a+2b} = \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)}$

2. Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a+b}{a-b} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2a^2+2b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}$

3. Выполним умножение:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{2(a+b)} \cdot \frac{2(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} = \frac{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2) \cdot \cancel{2}(a^2+b^2)}{\cancel{2}(a+b) \cdot \cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2}$

4. Выполним деление, умножая на перевернутую дробь:

$\frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} : \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)^2} = \frac{(a^2+ab+b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$

5. Сократим одинаковые множители:

$\frac{\cancel{(a^2+ab+b^2)}(a^2+b^2)}{\cancel{(a+b)^2}} \cdot \frac{\cancel{(a+b)^2}}{\cancel{a^2+ab+b^2}} = a^2+b^2$

Ответ: $a^2+b^2$.

Упростим выражение по действиям, соблюдая порядок операций.

1. Сначала выполним умножение дробей. Для этого разложим их числители и знаменатели на множители:

$y^2-x^2 = (y-x)(y+x) = -(x-y)(x+y)$

$xy-y^2 = y(x-y)$

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

Числитель первой дроби $x^2+y^2-xy$ оставим как есть.

2. Подставим разложенные выражения в произведение и сократим:

$\frac{x^2-xy+y^2}{y^2-x^2} \cdot \frac{xy-y^2}{x^3+y^3} = \frac{x^2-xy+y^2}{-(x-y)(x+y)} \cdot \frac{y(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{\cancel{x^2-xy+y^2}}{-\cancel{(x-y)}(x+y)} \cdot \frac{y\cancel{(x-y)}}{(x+y)\cancel{(x^2-xy+y^2)}} = -\frac{y}{(x+y)^2}$

3. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{1}{x+y} + \left(-\frac{y}{(x+y)^2}\right) - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{1}{x+y} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2$ и выполним вычитание:

$\frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)^2} - \frac{y}{(x+y)^2} - \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{x+y-y-1}{(x+y)^2} = \frac{x-1}{(x+y)^2}$

Ответ: $\frac{x-1}{(x+y)^2}$.

104 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

а) Дано: $x + \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

б) Дано: $x - \frac{1}{x} = y$. Выразите $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$.

Образец. Дано: $x + \frac{2}{x} = y$. Выразим $x^2 + \frac{4}{x^2}$ через $y$:

$(x + \frac{2}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{4}{x^2} = (x + \frac{2}{x})^2 - 4 = y^2 - 4$.

а)

Дано равенство $x + \frac{1}{x} = y$. Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, возведем обе части данного равенства в квадрат. Для левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(x + \frac{1}{x})^2 = y^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим средний член $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$. Тогда равенство примет вид:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь, чтобы найти искомое выражение, перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$

Ответ: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

б)

Дано равенство $x - \frac{1}{x} = y$. Чтобы выразить $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$, так же как и в предыдущем пункте, возведем обе части в квадрат. Для левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x - \frac{1}{x})^2 = y^2$

Раскроем скобки в левой части:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = y^2$

Упростим средний член $-2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = -2$. Тогда равенство примет вид:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = y^2$

Теперь, чтобы найти искомое выражение, перенесем -2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$

Ответ: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 + 2$.