Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

81 Найдите произведение дроби и одночлена (пример 4 из текста):

а) $a \cdot \frac{1}{b}$;

б) $\frac{3}{x} \cdot y$;

в) $\frac{a}{2x} \cdot 2a$;

г) $8x \cdot \frac{c}{4x}$;

д) $\frac{ab}{cd} \cdot bc$;

е) $axy \cdot \frac{a}{xy}$.

а) Чтобы найти произведение одночлена $a$ и дроби $\frac{1}{b}$, нужно умножить этот одночлен на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a \cdot 1}{b} = \frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

б) Умножаем дробь $\frac{3}{x}$ на одночлен $y$. Для этого числитель дроби умножаем на $y$, а знаменатель оставляем прежним.
$\frac{3}{x} \cdot y = \frac{3 \cdot y}{x} = \frac{3y}{x}$.
Ответ: $\frac{3y}{x}$

в) Чтобы найти произведение дроби $\frac{a}{2x}$ и одночлена $2a$, умножим числитель дроби на этот одночлен.
$\frac{a}{2x} \cdot 2a = \frac{a \cdot 2a}{2x} = \frac{2a^2}{2x}$.
Теперь сократим полученную дробь. Общий множитель в числителе и знаменателе равен $2$.
$\frac{2a^2}{2x} = \frac{a^2}{x}$.
Ответ: $\frac{a^2}{x}$

г) Умножаем одночлен $8x$ на дробь $\frac{c}{4x}$. Для этого умножаем одночлен на числитель дроби.
$8x \cdot \frac{c}{4x} = \frac{8x \cdot c}{4x}$.
Сокращаем полученную дробь. Общий множитель в числителе и знаменателе равен $4x$.
$\frac{8xc}{4x} = \frac{2 \cdot 4x \cdot c}{4x} = 2c$.
Ответ: $2c$

д) Находим произведение дроби $\frac{ab}{cd}$ и одночлена $bc$. Умножаем числитель дроби на одночлен.
$\frac{ab}{cd} \cdot bc = \frac{ab \cdot bc}{cd} = \frac{ab^2c}{cd}$.
Сокращаем полученную дробь на общий множитель $c$.
$\frac{ab^2c}{cd} = \frac{ab^2}{d}$.
Ответ: $\frac{ab^2}{d}$

е) Умножаем одночлен $axy$ на дробь $\frac{a}{xy}$. Для этого умножаем одночлен на числитель дроби.
$axy \cdot \frac{a}{xy} = \frac{axy \cdot a}{xy} = \frac{a^2xy}{xy}$.
Сокращаем дробь на общий множитель $xy$.
$\frac{a^2xy}{xy} = a^2$.
Ответ: $a^2$

82 Найдите частное (пример 5 из текста):

a) $ \frac{1}{x} : y; $

б) $ m : \frac{1}{n}; $

в) $ 3a : \frac{9}{a}; $

г) $ \frac{2ab}{3} : (6b); $

д) $ \frac{ab}{cd} : (bc); $

е) $ mpq : \frac{m}{pq}. $

а) Чтобы разделить дробь на выражение, нужно заменить деление умножением на обратное выражение. Выражение, обратное $y$, это $\frac{1}{y}$.
$\frac{1}{x} : y = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{xy}$.
Ответ: $\frac{1}{xy}$.

б) Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить это выражение на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная $\frac{1}{n}$, это $n$.
$m : \frac{1}{n} = m \cdot n = mn$.
Ответ: $mn$.

в) Заменяем деление умножением на обратную дробь и выполняем преобразования. Выражение $3a$ можно представить как дробь $\frac{3a}{1}$.
$3a : \frac{9}{a} = \frac{3a}{1} \cdot \frac{a}{9} = \frac{3a \cdot a}{1 \cdot 9} = \frac{3a^2}{9}$.
Сокращаем полученную дробь на 3:
$\frac{3a^2}{9} = \frac{a^2}{3}$.
Ответ: $\frac{a^2}{3}$.

г) Представим делитель $6b$ в виде дроби $\frac{6b}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь $\frac{1}{6b}$.
$\frac{2ab}{3} : (6b) = \frac{2ab}{3} \cdot \frac{1}{6b} = \frac{2ab}{3 \cdot 6b} = \frac{2ab}{18b}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на $2b$ (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{2ab}{18b} = \frac{a}{9}$.
Ответ: $\frac{a}{9}$.

д) Представим делитель $bc$ в виде дроби $\frac{bc}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь $\frac{1}{bc}$.
$\frac{ab}{cd} : (bc) = \frac{ab}{cd} \cdot \frac{1}{bc} = \frac{ab}{cd \cdot bc} = \frac{ab}{bc^2d}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на $b$ (при условии, что $b \neq 0$):
$\frac{a}{c^2d}$.
Ответ: $\frac{a}{c^2d}$.

е) Заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь. Обратная дробь для $\frac{m}{pq}$ это $\frac{pq}{m}$.
$mpq : \frac{m}{pq} = \frac{mpq}{1} \cdot \frac{pq}{m} = \frac{mpq \cdot pq}{m} = \frac{mp^2q^2}{m}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на $m$ (при условии, что $m \neq 0$):
$p^2q^2$.
Ответ: $p^2q^2$.

Выполните умножение или деление (83–84).

83 а) $2x^2y \cdot \frac{x}{y};$

б) $5ab^2 : \frac{a}{b};$

в) $\frac{3a}{4b^2} \cdot 8a^2b^2;$

г) $\frac{12m^2}{n^2} : (6m^2n^2);$

д) $\frac{2a^2}{3b^3} : (6ab);$

е) $18pq^2 \cdot \frac{2p}{9q^6}.$

а) Чтобы выполнить умножение, представим одночлен $2x^2y$ в виде дроби со знаменателем 1 и перемножим дроби, умножив числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель:
$2x^2y \cdot \frac{x}{y} = \frac{2x^2y}{1} \cdot \frac{x}{y} = \frac{2x^2y \cdot x}{1 \cdot y} = \frac{2x^3y}{y}$.
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на общий множитель $y$:
$\frac{2x^3y}{y} = 2x^3$.
Ответ: $2x^3$.

б) Деление на дробь равносильно умножению на дробь, обратную делителю. Дробь, обратная к $\frac{a}{b}$, это $\frac{b}{a}$.
$5ab^2 : \frac{a}{b} = 5ab^2 \cdot \frac{b}{a} = \frac{5ab^2}{1} \cdot \frac{b}{a} = \frac{5ab^2 \cdot b}{1 \cdot a} = \frac{5ab^3}{a}$.
Сократим полученную дробь на общий множитель $a$:
$\frac{5ab^3}{a} = 5b^3$.
Ответ: $5b^3$.

в) Чтобы умножить дробь на одночлен, умножим числитель дроби на этот одночлен:
$\frac{3a}{4b^2} \cdot 8a^2b^2 = \frac{3a \cdot 8a^2b^2}{4b^2}$.
Выполним умножение в числителе: $3a \cdot 8a^2b^2 = 24a^3b^2$. Получим дробь $\frac{24a^3b^2}{4b^2}$.
Сократим дробь: разделим числовые коэффициенты $24$ на $4$ и сократим $b^2$:
$\frac{24a^3b^2}{4b^2} = 6a^3$.
Ответ: $6a^3$.

г) Чтобы разделить дробь на одночлен, нужно умножить ее на выражение, обратное этому одночлену. Выражение, обратное $6m^2n^2$, это $\frac{1}{6m^2n^2}$.
$\frac{12m^2}{n^2} : (6m^2n^2) = \frac{12m^2}{n^2} \cdot \frac{1}{6m^2n^2} = \frac{12m^2}{n^2 \cdot 6m^2n^2} = \frac{12m^2}{6m^2n^4}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $12$ на $6$ и сократим $m^2$:
$\frac{12m^2}{6m^2n^4} = \frac{2}{n^4}$.
Ответ: $\frac{2}{n^4}$.

д) Чтобы разделить дробь на одночлен, нужно знаменатель дроби умножить на этот одночлен.
$\frac{2a^2}{3b^3} : (6ab) = \frac{2a^2}{3b^3 \cdot 6ab} = \frac{2a^2}{18ab^4}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $2$ и $18$ на $2$, а также сократим переменные $a$:
$\frac{2a^2}{18ab^4} = \frac{a}{9b^4}$.
Ответ: $\frac{a}{9b^4}$.

е) Чтобы умножить одночлен на дробь, нужно этот одночлен умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.
$18pq^2 \cdot \frac{2p}{9q^6} = \frac{18pq^2 \cdot 2p}{9q^6} = \frac{36p^2q^2}{9q^6}$.
Сократим полученную дробь. Разделим коэффициенты $36$ на $9$ и сократим степени $q$:
$\frac{36p^2q^2}{9q^6} = \frac{4p^2}{q^{6-2}} = \frac{4p^2}{q^4}$.
Ответ: $\frac{4p^2}{q^4}$.

84 а) $ \frac{x-y}{x} \cdot (x+y); $

б) $ (2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3}; $

в) $ \frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b); $

г) $ (2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3}; $

д) $ \frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2; $

е) $ (x-z) : \frac{x^2-2xz+z^2}{x^2-z^2}; $

ж) $ \frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2-4); $

з) $ \frac{b}{a^2-ab} : (ab-b^2). $

а)

Чтобы умножить дробь на выражение, представим это выражение в виде дроби со знаменателем 1 и выполним умножение дробей (числитель на числитель, знаменатель на знаменатель).

$\frac{x-y}{x} \cdot (x+y) = \frac{x-y}{x} \cdot \frac{x+y}{1} = \frac{(x-y)(x+y)}{x}$

В числителе находится произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов (формула разности квадратов): $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(x-y)(x+y)}{x} = \frac{x^2-y^2}{x}$

Ответ: $\frac{x^2-y^2}{x}$

б)

В выражении $(2a+6)$ вынесем общий множитель 2 за скобки. Затем выполним умножение, предварительно сократив дроби.

$(2a+6) \cdot \frac{a-2}{a+3} = 2(a+3) \cdot \frac{a-2}{a+3}$

Представим $2(a+3)$ в виде дроби $\frac{2(a+3)}{1}$:

$\frac{2(a+3)}{1} \cdot \frac{a-2}{a+3} = \frac{2(a+3)(a-2)}{a+3}$

Сократим общий множитель $(a+3)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a+3 \neq 0$):

$2(a-2) = 2a - 4$

Ответ: $2a-4$

в)

Умножим дробь на выражение, представив его как дробь со знаменателем 1.

$\frac{4a^2}{2a-b} \cdot (2a-b) = \frac{4a^2}{2a-b} \cdot \frac{2a-b}{1} = \frac{4a^2(2a-b)}{2a-b}$

Сократим дробь на общий множитель $(2a-b)$ (при условии, что $2a-b \neq 0$):

$4a^2$

Ответ: $4a^2$

г)

Умножим выражение на дробь, представив выражение как дробь со знаменателем 1.

$(2m-3) \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{2m-3}{1} \cdot \frac{m-1}{2m-3} = \frac{(2m-3)(m-1)}{2m-3}$

Сократим дробь на общий множитель $(2m-3)$ (при условии, что $2m-3 \neq 0$):

$m-1$

Ответ: $m-1$

д)

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное данному.

$\frac{n^2-4}{3} : (n-2)^2 = \frac{n^2-4}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2}$

Разложим числитель $n^2-4$ на множители по формуле разности квадратов: $n^2-4 = (n-2)(n+2)$.

$\frac{(n-2)(n+2)}{3} \cdot \frac{1}{(n-2)^2} = \frac{(n-2)(n+2)}{3(n-2)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(n-2)$ (при условии, что $n-2 \neq 0$):

$\frac{n+2}{3(n-2)}$

Ответ: $\frac{n+2}{3(n-2)}$

е)

Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить это выражение на дробь, обратную данной (перевернутую).

$(x-z) : \frac{x^2 - 2xz + z^2}{x^2 - z^2} = (x-z) \cdot \frac{x^2 - z^2}{x^2 - 2xz + z^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Числитель $x^2-z^2 = (x-z)(x+z)$ (разность квадратов). Знаменатель $x^2-2xz+z^2 = (x-z)^2$ (квадрат разности).

$\frac{x-z}{1} \cdot \frac{(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)(x-z)(x+z)}{(x-z)^2} = \frac{(x-z)^2(x+z)}{(x-z)^2}$

Сократим дробь на $(x-z)^2$ (при условии, что $x-z \neq 0$):

$x+z$

Ответ: $x+z$

ж)

Заменим деление умножением на обратное выражение.

$\frac{p^2+4p+4}{p-2} : (p^2 - 4) = \frac{p^2+4p+4}{p-2} \cdot \frac{1}{p^2 - 4}$

Разложим на множители числитель первой дроби $p^2+4p+4=(p+2)^2$ (квадрат суммы) и знаменатель второй дроби $p^2-4=(p-2)(p+2)$ (разность квадратов).

$\frac{(p+2)^2}{p-2} \cdot \frac{1}{(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)(p-2)(p+2)} = \frac{(p+2)^2}{(p-2)^2(p+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p+2)$ (при условии, что $p+2 \neq 0$ и $p-2 \neq 0$):

$\frac{p+2}{(p-2)^2}$

Ответ: $\frac{p+2}{(p-2)^2}$

з)

Заменим деление на умножение на обратное выражение.

$\frac{b}{a^2-ab} : (ab - b^2) = \frac{b}{a^2-ab} \cdot \frac{1}{ab - b^2}$

В знаменателе первой дроби вынесем за скобки $a$, а в знаменателе второй дроби вынесем $b$.

$\frac{b}{a(a-b)} \cdot \frac{1}{b(a-b)}$

Перемножим дроби:

$\frac{b}{a(a-b) \cdot b(a-b)} = \frac{b}{ab(a-b)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $b$ (при условии, что $b \neq 0, a \neq 0, a-b \neq 0$):

$\frac{1}{a(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{1}{a(a-b)^2}$

85 Упростите выражение:

а) $\frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} : \frac{2x^2}{a^3y}$;

б) $(\frac{ab^3}{x} : \frac{5b^2}{a}) : \frac{a^3}{2x}$;

в) $x^3y^2 : \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{y^3}$;

г) $\frac{2ab^5}{3c} \cdot 6ac : (2b^3c)$;

д) $3xy^2 \cdot \frac{x}{y} : \frac{6x^2}{y}$;

е) $\frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} : (15mn)$.

а) Чтобы упростить данное выражение, сначала заменим деление на умножение, перевернув дробь-делитель.
$\frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} : \frac{2x^2}{a^3y} = \frac{2x^2y}{a^2} \cdot \frac{a}{xy^2} \cdot \frac{a^3y}{2x^2}$
Теперь объединим все в одну дробь, перемножив числители и знаменатели:
$\frac{2x^2y \cdot a \cdot a^3y}{a^2 \cdot xy^2 \cdot 2x^2} = \frac{2a^{1+3}x^2y^{1+1}}{2a^2x^{1+2}y^2} = \frac{2a^4x^2y^2}{2a^2x^3y^2}$
Сократим общие множители (2, $a^2$, $x^2$, $y^2$):
$\frac{\cancel{2}a^{4-2}x^{2-3}y^{2-2}}{\cancel{2}} = a^2x^{-1}y^0 = a^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{a^2}{x}$
Ответ: $\frac{a^2}{x}$

б) Сначала выполним действие в скобках. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$\frac{ab^3}{x} : \frac{5b^2}{a} = \frac{ab^3}{x} \cdot \frac{a}{5b^2} = \frac{a \cdot a \cdot b^3}{x \cdot 5 \cdot b^2} = \frac{a^2b^3}{5xb^2} = \frac{a^2b}{5x}$
Теперь разделим результат на вторую дробь:
$\frac{a^2b}{5x} : \frac{a^3}{2x} = \frac{a^2b}{5x} \cdot \frac{2x}{a^3} = \frac{a^2b \cdot 2x}{5x \cdot a^3} = \frac{2a^2bx}{5a^3x}$
Сократим общие множители ($a^2$, $x$):
$\frac{2b}{5a}$
Ответ: $\frac{2b}{5a}$

в) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала деление:
$x^3y^2 : \frac{1}{x^2} = x^3y^2 \cdot \frac{x^2}{1} = x^{3+2}y^2 = x^5y^2$
Теперь выполним умножение:
$x^5y^2 \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{x^5y^2}{y^3} = x^5y^{2-3} = x^5y^{-1} = \frac{x^5}{y}$
Ответ: $\frac{x^5}{y}$

г) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала умножение, представив $6ac$ как дробь $\frac{6ac}{1}$:
$\frac{2ab^5}{3c} \cdot 6ac = \frac{2ab^5 \cdot 6ac}{3c} = \frac{12a^2b^5c}{3c}$
Сократим $c$ и разделим 12 на 3:
$4a^2b^5$
Теперь выполним деление на $(2b^3c)$:
$4a^2b^5 : (2b^3c) = \frac{4a^2b^5}{2b^3c}$
Сократим коэффициенты и степени:
$\frac{4}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{b^5}{b^3} \cdot \frac{1}{c} = 2a^2b^{5-3}c^{-1} = \frac{2a^2b^2}{c}$
Ответ: $\frac{2a^2b^2}{c}$

д) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение:
$3xy^2 \cdot \frac{x}{y} = \frac{3xy^2 \cdot x}{y} = \frac{3x^2y^2}{y} = 3x^2y$
Теперь деление:
$3x^2y : \frac{6x^2}{y} = 3x^2y \cdot \frac{y}{6x^2} = \frac{3x^2y \cdot y}{6x^2} = \frac{3x^2y^2}{6x^2}$
Сократим общие множители ($3$, $x^2$):
$\frac{y^2}{2}$
Ответ: $\frac{y^2}{2}$

е) Выполняем действия слева направо. Сначала умножение дробей:
$\frac{3m^2}{2n^2} \cdot \frac{10n}{3m} = \frac{3m^2 \cdot 10n}{2n^2 \cdot 3m} = \frac{30m^2n}{6mn^2}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{5 \cdot 6 \cdot m \cdot m \cdot n}{6 \cdot m \cdot n \cdot n} = \frac{5m}{n}$
Теперь выполним деление на $(15mn)$, представив его как дробь $\frac{15mn}{1}$:
$\frac{5m}{n} : (15mn) = \frac{5m}{n} \cdot \frac{1}{15mn} = \frac{5m}{n \cdot 15mn} = \frac{5m}{15mn^2}$
Сократим общие множители (5, $m$):
$\frac{1}{3n^2}$
Ответ: $\frac{1}{3n^2}$

Выполните действия (86–89).

86. а) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x} \cdot \frac{x^2 - 25}{x^2 + 3x}$;

б) $\frac{b^2 - ab}{a^2 + ad} : \frac{ab}{d^2 + ad}$;

В) $\frac{4x - y}{x^2 + xy} : \frac{4x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2}$;

Г) $\frac{a^2 + 4a + 4}{2a - 2} \cdot \frac{a^2 - a}{3a + 6}$;

а) $\frac{x^2-9}{x^2-5x} \cdot \frac{x^2-25}{x^2+3x}$

Для выполнения умножения дробей сначала разложим числители и знаменатели на множители. Мы будем использовать формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Разложим на множители каждый элемент дробей:

• Числитель первой дроби: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$.
• Знаменатель первой дроби: $x^2-5x = x(x-5)$.
• Числитель второй дроби: $x^2-25 = (x-5)(x+5)$.
• Знаменатель второй дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в пример:

$\frac{(x-3)(x+3)}{x(x-5)} \cdot \frac{(x-5)(x+5)}{x(x+3)}$

Прежде чем перемножить дроби, сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители — это $(x-5)$ и $(x+3)$.

$\frac{(x-3)\cancel{(x+3)}\cancel{(x-5)}(x+5)}{x\cancel{(x-5)}x\cancel{(x+3)}} = \frac{(x-3)(x+5)}{x \cdot x}$

Остается перемножить оставшиеся множители в числителе и знаменателе:

$\frac{x^2+5x-3x-15}{x^2} = \frac{x^2+2x-15}{x^2}$

Ответ: $\frac{x^2+2x-15}{x^2}$

б) $\frac{b^2-ab}{a^2+ad} \div \frac{ab}{d^2+ad}$

Чтобы выполнить деление дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{b^2-ab}{a^2+ad} \cdot \frac{d^2+ad}{ab}$

Теперь разложим числители и знаменатели на множители, вынося общие множители за скобки:

• $b^2-ab = b(b-a)$
• $a^2+ad = a(a+d)$
• $d^2+ad = d(d+a)$

Подставим эти выражения в наше произведение:

$\frac{b(b-a)}{a(a+d)} \cdot \frac{d(d+a)}{ab}$

Сократим общие множители $b$ и $(a+d)$ (так как $d+a = a+d$):

$\frac{\cancel{b}(b-a)d\cancel{(d+a)}}{a\cancel{(a+d)}a\cancel{b}} = \frac{d(b-a)}{a \cdot a}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{d(b-a)}{a^2}$

Ответ: $\frac{d(b-a)}{a^2}$

в) $\frac{4x-y}{x^2+xy} \div \frac{4x^2-xy}{2x^2-2y^2}$

Заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь:

$\frac{4x-y}{x^2+xy} \cdot \frac{2x^2-2y^2}{4x^2-xy}$

Разложим на множители числители и знаменатели полученных дробей.

• Знаменатель первой дроби: $x^2+xy = x(x+y)$.
• Числитель второй дроби: $2x^2-2y^2 = 2(x^2-y^2) = 2(x-y)(x+y)$ (вынесение общего множителя и формула разности квадратов).
• Знаменатель второй дроби: $4x^2-xy = x(4x-y)$.

Выражение $4x-y$ в числителе первой дроби не раскладывается на множители.

Подставим разложенные части обратно:

$\frac{4x-y}{x(x+y)} \cdot \frac{2(x-y)(x+y)}{x(4x-y)}$

Теперь сократим общие множители $(4x-y)$ и $(x+y)$:

$\frac{\cancel{(4x-y)} \cdot 2(x-y)\cancel{(x+y)}}{x\cancel{(x+y)} \cdot x\cancel{(4x-y)}} = \frac{2(x-y)}{x \cdot x}$

Упростим результат:

$\frac{2(x-y)}{x^2}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{x^2}$

г) $\frac{a^2+4a+4}{2a-2} \cdot \frac{a^2-a}{3a+6}$

Для решения примера разложим на множители все числители и знаменатели.

• Числитель первой дроби является полным квадратом суммы: $a^2+4a+4 = (a+2)^2$.
• Знаменатель первой дроби: $2a-2 = 2(a-1)$.
• Числитель второй дроби: $a^2-a = a(a-1)$.
• Знаменатель второй дроби: $3a+6 = 3(a+2)$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\frac{(a+2)^2}{2(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{3(a+2)}$

Сократим общие множители $(a-1)$ и $(a+2)$. Учтем, что $(a+2)^2 = (a+2)(a+2)$.

$\frac{(a+2)^{\cancel{2}} \cdot a\cancel{(a-1)}}{2\cancel{(a-1)} \cdot 3\cancel{(a+2)}} = \frac{a(a+2)}{2 \cdot 3}$

Перемножим оставшиеся числа в знаменателе:

$\frac{a(a+2)}{6}$

Ответ: $\frac{a(a+2)}{6}$

87 а) $\frac{(c-d)^2}{cd^2+d^3} : \frac{d^2-c^2}{d^4};$

Б) $\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3};$

В) $\frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3};$

Г) $\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2}.$

а)

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$ \frac{(c-d)^2}{cd^2 + d^3} : \frac{d^2 - c^2}{d^4} = \frac{(c-d)^2}{cd^2 + d^3} \cdot \frac{d^4}{d^2 - c^2} $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $d^2$ за скобки: $cd^2 + d^3 = d^2(c+d)$. Знаменатель второй дроби разложим по формуле разности квадратов: $d^2 - c^2 = (d-c)(d+c)$.
Выражение примет вид: $ \frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)} \cdot \frac{d^4}{(d-c)(d+c)} $.
Заметим, что $d-c = -(c-d)$. Подставим это в выражение: $ \frac{(c-d)^2}{d^2(c+d)} \cdot \frac{d^4}{-(c-d)(c+d)} $.
Теперь сократим общие множители. Сокращаем $(c-d)$ в числителе и знаменателе, а также $d^2$ в числителе и знаменателе: $ \frac{c-d}{c+d} \cdot \frac{d^2}{-(c+d)} $.
Перемножим оставшиеся дроби: $ -\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2} $.

Ответ: $ -\frac{d^2(c-d)}{(c+d)^2} $.

б)

Упростим выражение $ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{(b-a)^3}{3(a+b)^3} $.
Используем свойство $(b-a)^3 = (-(a-b))^3 = (-1)^3(a-b)^3 = -(a-b)^3$.
Подставим это в исходное выражение: $ \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \cdot \frac{-(a-b)^3}{3(a+b)^3} $.
Запишем все под одной чертой дроби, вынеся знак минус вперед: $ -\frac{(a+b)^2 \cdot (a-b)^3}{(a-b)^2 \cdot 3(a+b)^3} $.
Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ -\frac{(a-b)^{3-2}}{3(a+b)^{3-2}} = -\frac{a-b}{3(a+b)} $.

Ответ: $ -\frac{a-b}{3(a+b)} $.

в)

Упростим выражение $ \frac{2z-2y}{(2z+2y)^2} \cdot \frac{(2y+2z)^3}{(2y-2z)^3} $.
Вынесем общие множители из каждой скобки: $ \frac{2(z-y)}{(2(z+y))^2} \cdot \frac{(2(y+z))^3}{(2(y-z))^3} $.
Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $ \frac{2(z-y)}{2^2(z+y)^2} \cdot \frac{2^3(y+z)^3}{2^3(y-z)^3} = \frac{2(z-y)}{4(z+y)^2} \cdot \frac{8(y+z)^3}{8(y-z)^3} $.
Заметим, что $y+z=z+y$ и $y-z = -(z-y)$, следовательно, $(y-z)^3 = -(z-y)^3$.
Подставим в выражение: $ \frac{2(z-y)}{4(z+y)^2} \cdot \frac{8(z+y)^3}{-8(z-y)^3} $.
Сократим числовые коэффициенты и переменные: $ \frac{2 \cdot 8}{4 \cdot (-8)} \cdot \frac{(z-y)(z+y)^3}{(z+y)^2(z-y)^3} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{z+y}{(z-y)^2} $.
Запишем окончательный результат: $ -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $.

Ответ: $ -\frac{z+y}{2(z-y)^2} $.

г)

Чтобы разделить дроби, заменим деление на умножение обратной дроби: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} : \frac{(4-2x)^3}{(3-3x)^2} = \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{(3-3x)^2}{(4-2x)^3} $.
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе второй дроби: $ (3-3x)^2 = (3(1-x))^2 = 3^2(1-x)^2 = 9(1-x)^2 $.
$ (4-2x)^3 = (2(2-x))^3 = 2^3(2-x)^3 = 8(2-x)^3 $.
Выражение примет вид: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(1-x)^2}{8(2-x)^3} $.
Используем тождества $(1-x)^2 = (x-1)^2$ и $(2-x)^3 = (-(x-2))^3 = -(x-2)^3$: $ \frac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \cdot \frac{9(x-1)^2}{-8(x-2)^3} $.
Сократим общие множители $(x-1)^2$ в числителе и знаменателе. Также сократим $(x-2)^2$: $ \frac{9}{-8(x-2)} $.
Это можно записать как: $ -\frac{9}{8(x-2)} $ или $ \frac{9}{8(2-x)} $.

Ответ: $ -\frac{9}{8(x-2)} $.