Страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

59 Упростите выражение:

a) $ \frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b} $;

б) $ \frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a} $;

в) $ \frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a} $;

г) $ \frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x} $;

д) $ \frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2} $;

е) $ \frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x} $.

Подсказка. В каждом случае примените один из способов, рассмотренных в упражнении 58, — наиболее удобный для данного случая.

а) $\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{1-b}$
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, изменим знак знаменателя второй дроби, поменяв при этом знак перед дробью. Так как $1-b = -(b-1)$, получаем:
$\frac{b}{b-1} - \frac{b-2}{-(b-1)} = \frac{b}{b-1} + \frac{b-2}{b-1} = \frac{b+b-2}{b-1} = \frac{2b-2}{b-1}$
Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:
$\frac{2(b-1)}{b-1} = 2$
Ответ: $2$.

б) $\frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{1-2a}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $1-2a = -(2a-1)$, изменим знак знаменателя второй дроби и знак перед дробью:
$\frac{4}{2a-1} + \frac{3-2a}{-(2a-1)} = \frac{4}{2a-1} - \frac{3-2a}{2a-1} = \frac{4 - (3-2a)}{2a-1} = \frac{4-3+2a}{2a-1} = \frac{1+2a}{2a-1}$
Ответ: $\frac{2a+1}{2a-1}$.

в) $\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{c-a}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $c-a = -(a-c)$, получаем:
$\frac{2c-5}{a-c} - \frac{c+5}{-(a-c)} = \frac{2c-5}{a-c} + \frac{c+5}{a-c} = \frac{2c-5+c+5}{a-c} = \frac{3c}{a-c}$
Ответ: $\frac{3c}{a-c}$.

г) $\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{3-x}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $3-x = -(x-3)$, получаем:
$\frac{x^2}{x-3} + \frac{9}{-(x-3)} = \frac{x^2}{x-3} - \frac{9}{x-3} = \frac{x^2-9}{x-3}$
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и сократим дробь:
$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$
Ответ: $x+3$.

д) $\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{4-m^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $4-m^2 = -(m^2-4)$, получаем:
$\frac{m}{m^2-4} - \frac{2}{-(m^2-4)} = \frac{m}{m^2-4} + \frac{2}{m^2-4} = \frac{m+2}{m^2-4}$
Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов и сократим дробь:
$\frac{m+2}{(m-2)(m+2)} = \frac{1}{m-2}$
Ответ: $\frac{1}{m-2}$.

е) $\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{y-x}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Так как $y-x = -(x-y)$, получаем:
$\frac{2x-1}{x-y} + \frac{x-1}{-(x-y)} = \frac{2x-1}{x-y} - \frac{x-1}{x-y} = \frac{(2x-1)-(x-1)}{x-y} = \frac{2x-1-x+1}{x-y} = \frac{x}{x-y}$
Ответ: $\frac{x}{x-y}$.

60 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение $ \frac{a}{b} + a $ в виде дроби». Ответ первого $ \frac{2a}{b} $, ответ второго $ \frac{a+ab}{b} $. Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?

б) Учитель предложил представить выражение $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 $ в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.

1) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} = $

2) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a-2} = $

3) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a - 1) = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a - 1}{1} = $

4) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a + 1) = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a + 1}{1} = $

a)

Чтобы представить выражение $ \frac{a}{b} + a $ в виде единой дроби, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Представим второе слагаемое $ a $ в виде дроби со знаменателем 1: $ a = \frac{a}{1} $. Общим знаменателем для дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{1} $ является $ b $.

Приведем вторую дробь к знаменателю $ b $, домножив ее числитель и знаменатель на $ b $:

$ \frac{a}{b} + a = \frac{a}{b} + \frac{a}{1} = \frac{a}{b} + \frac{a \cdot b}{1 \cdot b} = \frac{a}{b} + \frac{ab}{b} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{a + ab}{b} $

Сравнивая этот результат с ответами учеников, мы видим, что прав второй ученик, чей ответ $ \frac{a + ab}{b} $.

Первый ученик, получивший ответ $ \frac{2a}{b} $, допустил ошибку. Его ошибка заключается в том, что он прибавил к числителю $ a $ слагаемое $ a $, не приведя его к общему знаменателю. Это распространенная ошибка, когда сложение $ \frac{a}{b} + a $ неверно выполняется как $ \frac{a+a}{b} $. Правильно было бы сначала умножить $ a $ на $ b $.

Ответ: Прав второй ученик. Ошибка первого ученика в том, что он не привел слагаемое $ a $ к общему знаменателю $ b $ перед тем, как выполнять сложение.

б)

Разберем преобразования каждого из четырех учащихся для выражения $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 $.

1) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} $

Это преобразование верное. Ученик представил все члены выражения в виде дробей, что является правильным первым шагом для приведения их к общему знаменателю. Доведем это решение до конца. Общий знаменатель — $ (3a - 2) $.

$ \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a(3a - 2)}{3a - 2} + \frac{1(3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 5a(3a - 2) + (3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a) + 3a - 2}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 10a + 3a - 2}{3a - 2} = \frac{13a - 2}{3a - 2} $

Ответ: Преобразование верное. Итоговый результат: $ \frac{13a - 2}{3a - 2} $.

2) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a - 2} $

Это преобразование неверное. Ученик просто записал все члены в числитель, не умножив $ -5a $ и $ +1 $ на знаменатель $ (3a-2) $. Это грубая ошибка, которая игнорирует правила приведения к общему знаменателю.

Ответ: Преобразование неверное.

3) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a - 1) $

Это преобразование верное. Ученик корректно вынес знак минус за скобки: $ -5a + 1 = -(5a - 1) $. Это правильное алгебраическое действие. Доведем это решение до конца.

$ \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a - 1}{1} = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{(5a - 1)(3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a - 3a + 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 13a + 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 13a - 2}{3a - 2} = \frac{13a - 2}{3a - 2} $

Ответ: Преобразование верное. Итоговый результат: $ \frac{13a - 2}{3a - 2} $.

4) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a + 1) $

Это преобразование неверное. При вынесении знака минус из выражения $ -5a + 1 $ необходимо было изменить знаки обоих слагаемых внутри скобки, т.е. $ -(5a - 1) $. Ученик не изменил знак у слагаемого $ +1 $.

Ответ: Преобразование неверное.

Представьте выражение в виде дроби; в качестве образца используйте пример 5 из текста (61–62).

61 а) $\frac{a}{b} + a;$

Б) $\frac{m}{n} - m;$

В) $y - \frac{4}{y};$

Г) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - 1;$

Д) $\frac{b}{c} - 2 + \frac{c}{b};$

Е) $1 - \frac{2}{p} + \frac{1}{p^2}.$

а) Чтобы представить выражение $\frac{a}{b} + a$ в виде дроби, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен $b$. Представим $a$ как дробь со знаменателем $b$, для этого умножим $a$ на $\frac{b}{b}$: $a = \frac{ab}{b}$. Теперь выполним сложение дробей: $\frac{a}{b} + a = \frac{a}{b} + \frac{ab}{b} = \frac{a + ab}{b}$.
Ответ: $\frac{a + ab}{b}$

б) Чтобы представить выражение $\frac{m}{n} - m$ в виде дроби, приведем его члены к общему знаменателю $n$. Представим $m$ как дробь со знаменателем $n$: $m = \frac{mn}{n}$. Теперь выполним вычитание: $\frac{m}{n} - m = \frac{m}{n} - \frac{mn}{n} = \frac{m - mn}{n}$.
Ответ: $\frac{m - mn}{n}$

в) Для представления выражения $y - \frac{4}{y}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель, который равен $y$. Представим $y$ как дробь со знаменателем $y$: $y = \frac{y \cdot y}{y} = \frac{y^2}{y}$. Выполним вычитание дробей: $y - \frac{4}{y} = \frac{y^2}{y} - \frac{4}{y} = \frac{y^2 - 4}{y}$.
Ответ: $\frac{y^2 - 4}{y}$

г) В выражении $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - 1$ три слагаемых. Чтобы представить их в виде одной дроби, найдем наименьший общий знаменатель для $a$, $b$ и $1$. Он равен $ab$. Приведем каждое слагаемое к этому знаменателю:
$\frac{1}{a} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{b}{ab}$
$\frac{1}{b} = \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{a}{ab}$
$1 = \frac{ab}{ab}$
Теперь выполним действия: $\frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} - \frac{ab}{ab} = \frac{b + a - ab}{ab}$.
Ответ: $\frac{a + b - ab}{ab}$

д) Чтобы представить выражение $\frac{b}{c} - 2 + \frac{c}{b}$ в виде дроби, найдем общий знаменатель для $c$, $1$ и $b$. Общий знаменатель - $bc$. Приведем все члены выражения к знаменателю $bc$:
$\frac{b}{c} - 2 + \frac{c}{b} = \frac{b \cdot b}{c \cdot b} - \frac{2 \cdot bc}{1 \cdot bc} + \frac{c \cdot c}{b \cdot c} = \frac{b^2}{bc} - \frac{2bc}{bc} + \frac{c^2}{bc}$.
Объединим числители: $\frac{b^2 - 2bc + c^2}{bc}$.
Ответ: $\frac{b^2 - 2bc + c^2}{bc}$

е) В выражении $1 - \frac{2}{p} + \frac{1}{p^2}$ наименьшим общим знаменателем является $p^2$. Приведем все слагаемые к этому знаменателю:
$1 = \frac{p^2}{p^2}$
$\frac{2}{p} = \frac{2 \cdot p}{p \cdot p} = \frac{2p}{p^2}$
Теперь выполним арифметические операции: $1 - \frac{2}{p} + \frac{1}{p^2} = \frac{p^2}{p^2} - \frac{2p}{p^2} + \frac{1}{p^2} = \frac{p^2 - 2p + 1}{p^2}$.
Ответ: $\frac{p^2 - 2p + 1}{p^2}$