Страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (44–47) Выполните сложение или вычитание дробей.

44 а) $ \frac{5a}{12} + \frac{a}{12} $;

Б) $ \frac{14b^2}{5} - \frac{9b^2}{5} $;

В) $ \frac{3p^2}{10c} - \frac{7p^2}{10c} - \frac{p^2}{10c} $;

Г) $ \frac{5}{3m} - \frac{7}{3m} - \frac{1}{3m} $.

а)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

$\frac{5a}{12} + \frac{a}{12} = \frac{5a + a}{12} = \frac{6a}{12}$

Сократим числитель и знаменатель на их общий делитель 6:

$\frac{6a}{12} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$

б)

Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Затем, если возможно, сократить дробь.

$\frac{14b^2}{5} - \frac{9b^2}{5} = \frac{14b^2 - 9b^2}{5} = \frac{(14-9)b^2}{5} = \frac{5b^2}{5}$

Сократим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5b^2}{5} = b^2$

Ответ: $b^2$

в)

Для выполнения операций с тремя дробями с одинаковыми знаменателями необходимо выполнить соответствующие действия (сложение/вычитание) с их числителями, а знаменатель оставить без изменений.

$\frac{3p^2}{10c} - \frac{7p^2}{10c} - \frac{p^2}{10c} = \frac{3p^2 - 7p^2 - p^2}{10c} = \frac{(3-7-1)p^2}{10c} = \frac{-5p^2}{10c}$

Сократим полученную дробь на общий делитель 5:

$\frac{-5p^2}{10c} = -\frac{p^2}{2c}$

Ответ: $-\frac{p^2}{2c}$

г)

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого произведем вычитание числителей, а знаменатель оставим общим.

$\frac{5}{3m} - \frac{7}{3m} - \frac{1}{3m} = \frac{5 - 7 - 1}{3m} = \frac{-3}{3m}$

Сократим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{-3}{3m} = -\frac{1}{m}$

Ответ: $-\frac{1}{m}$

45 а) $ \frac{2a-1}{2} + \frac{a+4}{2} $;

б) $ \frac{c+3}{3} - \frac{5c}{3} $;

В) $ \frac{x-y}{z} - \frac{x+y}{z} $;

Г) $ \frac{m+3}{n} + \frac{m-3}{n} $.

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{2a-1}{2} + \frac{a+4}{2} = \frac{(2a-1) + (a+4)}{2}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2a - 1 + a + 4}{2} = \frac{(2a+a) + (-1+4)}{2} = \frac{3a+3}{2}$
Ответ: $\frac{3a+3}{2}$

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{c+3}{3} - \frac{5c}{3} = \frac{(c+3) - 5c}{3}$
Упростим выражение в числителе:
$\frac{c+3-5c}{3} = \frac{(c-5c)+3}{3} = \frac{-4c+3}{3}$
Ответ: $\frac{3-4c}{3}$

в) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем $z$. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который относится ко всему ее числителю.
$\frac{x-y}{z} - \frac{x+y}{z} = \frac{(x-y) - (x+y)}{z}$
Раскроем скобки в числителе, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные:
$\frac{x-y-x-y}{z} = \frac{(x-x) + (-y-y)}{z} = \frac{-2y}{z}$
Ответ: $-\frac{2y}{z}$

г) Сложим дроби с одинаковым знаменателем $n$, сложив их числители.
$\frac{m+3}{n} + \frac{m-3}{n} = \frac{(m+3) + (m-3)}{n}$
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$\frac{m+3+m-3}{n} = \frac{(m+m) + (3-3)}{n} = \frac{2m}{n}$
Ответ: $\frac{2m}{n}$

46 a) $\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}$;

Б) $\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1}$;

В) $\frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n}$;

Г) $\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}$;

Д) $\frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2}$;

е) $\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}$.

а) $\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}$
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, для их сложения нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним:
$\frac{ax+ay}{x+y}$
В числителе можно вынести за скобки общий множитель $a$:
$\frac{a(x+y)}{x+y}$
Теперь сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:
$a$
Ответ: $a$

б) $\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому для вычитания дробей нужно вычесть их числители:
$\frac{a-1}{a-1}$
При условии, что знаменатель не равен нулю ($a-1 \neq 0$), дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:
$1$
Ответ: $1$

в) $\frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{m^2-n^2}{m+n}$
Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}$
Сократим дробь на общий множитель $(m+n)$:
$m-n$
Ответ: $m-n$

г) $\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}$
Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{c+3}{c^2-9}$
Знаменатель является разностью квадратов ($c^2-3^2$), разложим его на множители:
$\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(c+3)$:
$\frac{1}{c-3}$
Ответ: $\frac{1}{c-3}$

д) $\frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{2-2x}{1-x^2}$
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки. В знаменателе применим формулу разности квадратов:
$\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1-x)$:
$\frac{2}{1+x}$
Ответ: $\frac{2}{1+x}$

е) $\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}$
Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{5p+5q}{p^2-q^2}$
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки. Знаменатель разложим на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}$
Сократим дробь на общий множитель $(p+q)$:
$\frac{5}{p-q}$
Ответ: $\frac{5}{p-q}$

47 a) $\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3}$

Б) $\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b}$

В) $\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5}$

Г) $\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$

Д) $\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9}$

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4}$

а) $\frac{4a+1}{3a-3} - \frac{a+1}{3a-3}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, то, чтобы найти разность дробей, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
$\frac{4a+1 - (a+1)}{3a-3} = \frac{4a+1 - a - 1}{3a-3} = \frac{3a}{3a-3}$
Теперь упростим полученную дробь. Вынесем в знаменателе общий множитель 3 за скобки:
$\frac{3a}{3(a-1)}$
Сократим дробь на 3:
$\frac{a}{a-1}$
Ответ: $\frac{a}{a-1}$

б) $\frac{3a+2b}{a+b} + \frac{2a+3b}{a+b}$
Так как знаменатели дробей одинаковы, сложим их числители, а знаменатель оставим без изменений.
$\frac{3a+2b + 2a+3b}{a+b} = \frac{(3a+2a) + (2b+3b)}{a+b} = \frac{5a+5b}{a+b}$
Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:
$\frac{5(a+b)}{a+b}$
Сократим дробь на выражение $(a+b)$:
$5$
Ответ: $5$

в) $\frac{x+a}{a-5} - \frac{x+5}{a-5}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители.
$\frac{x+a - (x+5)}{a-5} = \frac{x+a - x - 5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5}$
Так как числитель и знаменатель равны (при условии, что $a \neq 5$), то дробь равна 1.
$1$
Ответ: $1$

г) $\frac{2mn}{m^2-n^2} + \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$
Складываем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{2mn + m^2+n^2}{m^2-n^2} = \frac{m^2+2mn+n^2}{m^2-n^2}$
В числителе используем формулу квадрата суммы: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$. В знаменателе используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(m+n)$:
$\frac{m+n}{m-n}$
Ответ: $\frac{m+n}{m-n}$

д) $\frac{k^2+k}{k^2-9} - \frac{7k-9}{k^2-9}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{k^2+k - (7k-9)}{k^2-9} = \frac{k^2+k - 7k + 9}{k^2-9} = \frac{k^2-6k+9}{k^2-9}$
В числителе применяем формулу квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$. В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{(k-3)^2}{(k-3)(k+3)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(k-3)$:
$\frac{k-3}{k+3}$
Ответ: $\frac{k-3}{k+3}$

е) $\frac{2a^2}{a^2-4a+4} - \frac{a^2+4}{a^2-4a+4}$
Вычитаем числители, так как знаменатели одинаковы.
$\frac{2a^2 - (a^2+4)}{a^2-4a+4} = \frac{2a^2 - a^2 - 4}{a^2-4a+4} = \frac{a^2-4}{a^2-4a+4}$
В числителе используем формулу разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В знаменателе используем формулу квадрата разности: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
$\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(a-2)$:
$\frac{a+2}{a-2}$
Ответ: $\frac{a+2}{a-2}$

48 Приведите дроби к общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{5} $;

б) $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{9} $;

в) $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $;

г) $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{3a} $;

д) $ \frac{c}{ab} $ и $ \frac{a}{bc} $;

е) $ \frac{1}{x^2y} $ и $ \frac{1}{xy^2} $;

ж) $ \frac{c}{a^2} $, $ \frac{1}{b^2} $, $ \frac{c^2}{ab} $;

з) $ \frac{c-x}{c+x} $ И $ \frac{cx}{c-x} $;

и) $ \frac{a-b}{a^2+ab} $ И $ \frac{a^2+b}{b^2+ab} $.

Даны дроби $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{5} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 8 и 5.
Так как числа 8 и 5 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.
Общий знаменатель: $ НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40 $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $ 40 \div 8 = 5 $. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 5}{8 \times 5} = \frac{5}{40} $.
Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $ 40 \div 5 = 8 $. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 8:
$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 8}{5 \times 8} = \frac{8}{40} $.
Ответ: $ \frac{5}{40} $ и $ \frac{8}{40} $.

Даны дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{9} $.
Найдем НОК знаменателей 6 и 9. Разложим их на простые множители:
$ 6 = 2 \times 3 $
$ 9 = 3^2 $
НОК(6, 9) равно произведению всех простых множителей в их наивысших степенях: $ 2 \times 3^2 = 18 $.
Общий знаменатель равен 18.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 18 \div 6 = 3 $.
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ 18 \div 9 = 2 $.
$ \frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} $.
Ответ: $ \frac{3}{18} $ и $ \frac{2}{18} $.

Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $.
Знаменатели $ a $ и $ b $ являются разными переменными. Их наименьшим общим кратным будет их произведение.
Общий знаменатель: $ ab $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab}{a} = b $.
$ \frac{1}{a} = \frac{1 \times b}{a \times b} = \frac{b}{ab} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab}{b} = a $.
$ \frac{1}{b} = \frac{1 \times a}{b \times a} = \frac{a}{ab} $.
Ответ: $ \frac{b}{ab} $ и $ \frac{a}{ab} $.

Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{3a} $.
Найдем НОК знаменателей $ a $ и $ 3a $.
$ НОК(a, 3a) = 3a $.
Общий знаменатель равен $ 3a $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{3a}{a} = 3 $.
$ \frac{1}{a} = \frac{1 \times 3}{a \times 3} = \frac{3}{3a} $.
Вторая дробь $ \frac{1}{3a} $ уже имеет общий знаменатель.
Ответ: $ \frac{3}{3a} $ и $ \frac{1}{3a} $.

Даны дроби $ \frac{c}{ab} $ и $ \frac{a}{bc} $.
Найдем НОК знаменателей $ ab $ и $ bc $.
$ НОК(ab, bc) = abc $.
Общий знаменатель равен $ abc $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{abc}{ab} = c $.
$ \frac{c}{ab} = \frac{c \times c}{ab \times c} = \frac{c^2}{abc} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{abc}{bc} = a $.
$ \frac{a}{bc} = \frac{a \times a}{bc \times a} = \frac{a^2}{abc} $.
Ответ: $ \frac{c^2}{abc} $ и $ \frac{a^2}{abc} $.

Даны дроби $ \frac{1}{x^2y} $ и $ \frac{1}{xy^2} $.
Найдем НОК знаменателей $ x^2y $ и $ xy^2 $. Для этого берем каждую переменную в наивысшей степени, в которой она встречается в знаменателях.
Общий знаменатель: $ x^2y^2 $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{x^2y^2}{x^2y} = y $.
$ \frac{1}{x^2y} = \frac{1 \times y}{x^2y \times y} = \frac{y}{x^2y^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{x^2y^2}{xy^2} = x $.
$ \frac{1}{xy^2} = \frac{1 \times x}{xy^2 \times x} = \frac{x}{x^2y^2} $.
Ответ: $ \frac{y}{x^2y^2} $ и $ \frac{x}{x^2y^2} $.

Даны дроби $ \frac{c}{a^2} $, $ \frac{1}{b^2} $ и $ \frac{c^2}{ab} $.
Найдем НОК знаменателей $ a^2 $, $ b^2 $ и $ ab $. Берем каждую переменную в наивысшей степени.
Общий знаменатель: $ a^2b^2 $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a^2b^2}{a^2} = b^2 $.
$ \frac{c}{a^2} = \frac{c \times b^2}{a^2 \times b^2} = \frac{cb^2}{a^2b^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a^2b^2}{b^2} = a^2 $.
$ \frac{1}{b^2} = \frac{1 \times a^2}{b^2 \times a^2} = \frac{a^2}{a^2b^2} $.
Дополнительный множитель для третьей дроби: $ \frac{a^2b^2}{ab} = ab $.
$ \frac{c^2}{ab} = \frac{c^2 \times ab}{ab \times ab} = \frac{abc^2}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{cb^2}{a^2b^2} $, $ \frac{a^2}{a^2b^2} $ и $ \frac{abc^2}{a^2b^2} $.

Даны дроби $ \frac{c-x}{c+x} $ и $ \frac{cx}{c-x} $.
Знаменатели $ (c+x) $ и $ (c-x) $ являются различными выражениями. Их НОК равно их произведению.
Общий знаменатель: $ (c+x)(c-x) = c^2 - x^2 $ (по формуле разности квадратов).
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (c-x) $.
$ \frac{c-x}{c+x} = \frac{(c-x)(c-x)}{(c+x)(c-x)} = \frac{(c-x)^2}{c^2-x^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (c+x) $.
$ \frac{cx}{c-x} = \frac{cx(c+x)}{(c-x)(c+x)} = \frac{c^2x+cx^2}{c^2-x^2} $.
Ответ: $ \frac{(c-x)^2}{c^2-x^2} $ и $ \frac{c^2x+cx^2}{c^2-x^2} $.

Даны дроби $ \frac{a-b}{a^2+ab} $ и $ \frac{a^2+b}{b^2+ab} $.
Сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2+ab = a(a+b) $.
Знаменатель второй дроби: $ b^2+ab = b(b+a) = b(a+b) $.
Найдем НОК выражений $ a(a+b) $ и $ b(a+b) $. Общим множителем является $ (a+b) $, а уникальными множителями являются $ a $ и $ b $.
Общий знаменатель: $ ab(a+b) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(a+b)}{a(a+b)} = b $.
$ \frac{a-b}{a(a+b)} = \frac{(a-b)b}{a(a+b)b} = \frac{ab-b^2}{ab(a+b)} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(a+b)}{b(a+b)} = a $.
$ \frac{a^2+b}{b(a+b)} = \frac{(a^2+b)a}{b(a+b)a} = \frac{a^3+ab}{ab(a+b)} $.
Ответ: $ \frac{ab-b^2}{ab(a+b)} $ и $ \frac{a^3+ab}{ab(a+b)} $.