Страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

56 а) $\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a+b}$;

б) $\frac{c^2 + 25}{c^2 - 25} - \frac{c}{c+5}$;

в) $\frac{2}{3a+2} + \frac{8}{9a^2 - 4}$;

г) $\frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} - \frac{y}{y-1}$;

д) $\frac{a+b}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$;

е) $\frac{m^2+n^2}{m^2-n^2} - \frac{m-n}{m+n}$.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{2a}{a^2 - b^2} - \frac{2}{a + b}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2a}{(a - b)(a + b)} - \frac{2}{a + b}$.
2. Общим знаменателем является выражение $(a - b)(a + b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(a - b)$:
$\frac{2a}{(a - b)(a + b)} - \frac{2(a - b)}{(a + b)(a - b)}$.
3. Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, вычитая их числители:
$\frac{2a - 2(a - b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{2a - 2a + 2b}{(a - b)(a + b)} = \frac{2b}{(a - b)(a + b)}$.
4. Можно оставить знаменатель в разложенном виде или свернуть его обратно в разность квадратов.
Ответ: $\frac{2b}{a^2 - b^2}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c^2 + 25}{c^2 - 25} - \frac{c}{c + 5}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $c^2 - 25 = (c - 5)(c + 5)$.
Выражение принимает вид: $\frac{c^2 + 25}{(c - 5)(c + 5)} - \frac{c}{c + 5}$.
2. Общий знаменатель — $(c - 5)(c + 5)$. Домножим вторую дробь на множитель $(c - 5)$:
$\frac{c^2 + 25}{(c - 5)(c + 5)} - \frac{c(c - 5)}{(c + 5)(c - 5)}$.
3. Выполним вычитание числителей:
$\frac{(c^2 + 25) - c(c - 5)}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{c^2 + 25 - c^2 + 5c}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{5c + 25}{(c - 5)(c + 5)}$.
4. Упростим числитель, вынеся общий множитель 5 за скобки, и сократим дробь:
$\frac{5(c + 5)}{(c - 5)(c + 5)} = \frac{5}{c - 5}$.
Ответ: $\frac{5}{c - 5}$

в) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{2}{3a + 2} + \frac{8}{9a^2 - 4}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2 = (3a - 2)(3a + 2)$.
Выражение принимает вид: $\frac{2}{3a + 2} + \frac{8}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
2. Общий знаменатель — $(3a - 2)(3a + 2)$. Домножим первую дробь на $(3a - 2)$:
$\frac{2(3a - 2)}{(3a + 2)(3a - 2)} + \frac{8}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
3. Выполним сложение числителей:
$\frac{2(3a - 2) + 8}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{6a - 4 + 8}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{6a + 4}{(3a - 2)(3a + 2)}$.
4. Упростим числитель, вынеся общий множитель 2 за скобки, и сократим дробь:
$\frac{2(3a + 2)}{(3a - 2)(3a + 2)} = \frac{2}{3a - 2}$.
Ответ: $\frac{2}{3a - 2}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{y^2}{y^2 - 2y + 1} - \frac{y}{y - 1}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2$.
Выражение принимает вид: $\frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y}{y - 1}$.
2. Общий знаменатель — $(y - 1)^2$. Домножим вторую дробь на $(y - 1)$:
$\frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y(y - 1)}{(y - 1)(y - 1)} = \frac{y^2}{(y - 1)^2} - \frac{y(y - 1)}{(y - 1)^2}$.
3. Выполним вычитание числителей:
$\frac{y^2 - y(y - 1)}{(y - 1)^2} = \frac{y^2 - y^2 + y}{(y - 1)^2} = \frac{y}{(y - 1)^2}$.
Ответ: $\frac{y}{(y - 1)^2}$

д) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Выражение принимает вид: $\frac{a + b}{a - b} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)}$.
2. Общий знаменатель — $(a - b)(a + b)$. Домножим первую дробь на $(a + b)$:
$\frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a + b)} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} - \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)}$.
3. Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)}$.
4. Запишем итоговый результат:
Ответ: $\frac{2ab}{a^2 - b^2}$

е) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2} - \frac{m - n}{m + n}$, приведем их к общему знаменателю.
1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.
Выражение принимает вид: $\frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{m - n}{m + n}$.
2. Общий знаменатель — $(m - n)(m + n)$. Домножим вторую дробь на $(m - n)$:
$\frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{(m - n)(m - n)}{(m + n)(m - n)} = \frac{m^2 + n^2}{(m - n)(m + n)} - \frac{(m - n)^2}{(m - n)(m + n)}$.
3. Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе по формуле квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$:
$\frac{(m^2 + n^2) - (m^2 - 2mn + n^2)}{(m - n)(m + n)} = \frac{m^2 + n^2 - m^2 + 2mn - n^2}{(m - n)(m + n)} = \frac{2mn}{(m - n)(m + n)}$.
4. Запишем итоговый результат:
Ответ: $\frac{2mn}{m^2 - n^2}$

57 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Найдите значение выражения при заданных значениях переменных:

а) $ \frac{4}{x} + \frac{20}{x^2 - 5x}$; $x = -19;$

б) $ \frac{n^2}{mn - m^2} - \frac{m}{n - m}$; $m = -0,5$; $n = 2,5$;

В) $ \frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a^2 - ac}$; $a = -100$; $c = -85$;

Г) $ \frac{y^2 + 4}{y^2 - 2y} - \frac{2}{y - 2}$; $y = \frac{1}{6}$;

Д) $ \frac{2}{a^2 + ab} + \frac{2}{b^2 + ab}$; $a = 0,25$; $b = 4$;

е) $ \frac{1}{xy - x^2} - \frac{1}{y^2 - xy}$; $x = -0,17$; $y = 100$.

а) Сначала упростим выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.
Знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $x^2 - 5x = x(x - 5)$.
Тогда выражение примет вид:
$\frac{4}{x} + \frac{20}{x(x - 5)} = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)} + \frac{20}{x(x - 5)} = \frac{4x - 20 + 20}{x(x - 5)} = \frac{4x}{x(x - 5)}$
Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$\frac{4}{x - 5}$
Теперь подставим значение $x = -19$:
$\frac{4}{-19 - 5} = \frac{4}{-24} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $-\frac{1}{6}$

б) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $mn - m^2 = m(n - m)$.
Выражение примет вид:
$\frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m}{n - m}$
Приведем дроби к общему знаменателю $m(n - m)$:
$\frac{n^2}{m(n - m)} - \frac{m \cdot m}{m(n - m)} = \frac{n^2 - m^2}{m(n - m)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $n^2 - m^2 = (n - m)(n + m)$:
$\frac{(n - m)(n + m)}{m(n - m)}$
Сократим дробь на $(n - m)$ (при условии, что $n \ne m$):
$\frac{n + m}{m}$
Подставим значения $m = -0,5$ и $n = 2,5$:
$\frac{2,5 + (-0,5)}{-0,5} = \frac{2}{-0,5} = -4$
Ответ: -4

в) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель второй дроби: $a^2 - ac = a(a - c)$.
Выражение примет вид:
$\frac{a}{a - c} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $a(a - c)$:
$\frac{a \cdot a}{a(a - c)} - \frac{2ac - c^2}{a(a - c)} = \frac{a^2 - (2ac - c^2)}{a(a - c)} = \frac{a^2 - 2ac + c^2}{a(a - c)}$
Числитель является полным квадратом $(a-c)^2$:
$\frac{(a - c)^2}{a(a - c)}$
Сократим дробь на $(a - c)$ (при условии, что $a \ne c$):
$\frac{a - c}{a}$
Подставим значения $a = -100$ и $c = -85$:
$\frac{-100 - (-85)}{-100} = \frac{-100 + 85}{-100} = \frac{-15}{-100} = 0,15$
Ответ: 0,15

г) Упростим выражение. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $y^2 - 2y = y(y - 2)$.
$\frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2}{y - 2}$
Приведем к общему знаменателю $y(y - 2)$:
$\frac{y^2 + 4}{y(y - 2)} - \frac{2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 + 4 - 2y}{y(y - 2)} = \frac{y^2 - 2y + 4}{y^2 - 2y}$
Выражение можно записать как $1 + \frac{4}{y^2 - 2y}$ или $1 + \frac{4}{y(y-2)}$.
Подставим значение $y = \frac{1}{6}$:
$1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1}{6} - 2)} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(\frac{1-12}{6})} = 1 + \frac{4}{\frac{1}{6}(-\frac{11}{6})} = 1 + \frac{4}{-\frac{11}{36}} = 1 - 4 \cdot \frac{36}{11} = 1 - \frac{144}{11} = \frac{11 - 144}{11} = -\frac{133}{11}$
Ответ: $-\frac{133}{11}$

д) Упростим выражение. Разложим знаменатели на множители: $a^2 + ab = a(a + b)$ и $b^2 + ab = b(b + a)$.
$\frac{2}{a(a + b)} + \frac{2}{b(a + b)}$
Общий знаменатель $ab(a + b)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{2b}{ab(a + b)} + \frac{2a}{ab(a + b)} = \frac{2b + 2a}{ab(a + b)} = \frac{2(b + a)}{ab(a + b)}$
Сократим дробь на $(a + b)$ (при условии, что $a \ne -b$):
$\frac{2}{ab}$
Подставим значения $a = 0,25$ и $b = 4$:
$\frac{2}{0,25 \cdot 4} = \frac{2}{1} = 2$
Ответ: 2

е) Упростим выражение. Разложим знаменатели на множители: $xy - x^2 = x(y - x)$ и $y^2 - xy = y(y - x)$.
$\frac{1}{x(y - x)} - \frac{1}{y(y - x)}$
Общий знаменатель $xy(y - x)$. Приведем дроби к нему:
$\frac{y}{xy(y - x)} - \frac{x}{xy(y - x)} = \frac{y - x}{xy(y - x)}$
Сократим дробь на $(y - x)$ (при условии, что $y \ne x$):
$\frac{1}{xy}$
Подставим значения $x = -0,17$ и $y = 100$:
$\frac{1}{-0,17 \cdot 100} = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}$
Ответ: $-\frac{1}{17}$

58 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 1) Замените знаменатель одной из дробей противоположным выражением и поменяйте знак перед этой дробью. Упростите получившееся выражение:

а) $ \frac{2x}{x-y} + \frac{2y}{y-x} $

б) $ \frac{a+b}{b-a} + \frac{a+2b}{a-b} $

в) $ \frac{m+n}{m-n} - \frac{n}{n-m} $

г) $ \frac{a-1}{a-2} - \frac{a+1}{2-a} $

Образец. а) $ \frac{2x}{x-y} + \frac{2y}{y-x} = \frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \dots $

Доведите преобразование до конца.

2) Приведите дроби к общему знаменателю, заменив у одной из них числитель и знаменатель на противоположные выражения, а затем выполните действие:

а) $ \frac{3b-a}{b-a} + \frac{4b}{a-b} $

б) $ \frac{2y+x}{x-1} + \frac{x-3y}{1-x} $

в) $ \frac{1-x}{x-y} + \frac{1-6x}{y-x} $

г) $ \frac{2m}{m-n} + \frac{3n-m}{n-m} $

Образец. а) $ \frac{3b-a}{b-a} + \frac{4b}{a-b} = \frac{a-3b}{a-b} + \frac{4b}{a-b} = \dots $

Доведите преобразование до конца.

а) Завершим преобразование, начатое в образце: $\frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \frac{2x - 2y}{x-y} = \frac{2(x-y)}{x-y} = 2$.
Ответ: $2$.

б) $\frac{a+b}{b-a} + \frac{a+2b}{a-b}$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заменим знаменатель первой дроби $b-a$ на $-(a-b)$ и вынесем минус перед дробью. Получим: $-\frac{a+b}{a-b} + \frac{a+2b}{a-b} = \frac{-(a+b) + (a+2b)}{a-b} = \frac{-a-b+a+2b}{a-b} = \frac{b}{a-b}$.
Ответ: $\frac{b}{a-b}$.

в) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{n}{n-m}$. Заменим знаменатель второй дроби $n-m$ на $-(m-n)$ и поменяем знак перед дробью с «–» на «+»: $\frac{m+n}{m-n} + \frac{n}{m-n} = \frac{m+n+n}{m-n} = \frac{m+2n}{m-n}$.
Ответ: $\frac{m+2n}{m-n}$.

г) $\frac{a-1}{a-2} - \frac{a+1}{2-a}$. Заменим знаменатель второй дроби $2-a$ на $-(a-2)$ и поменяем знак перед дробью с «–» на «+»: $\frac{a-1}{a-2} + \frac{a+1}{a-2} = \frac{a-1+a+1}{a-2} = \frac{2a}{a-2}$.
Ответ: $\frac{2a}{a-2}$.

а) Завершим преобразование, начатое в образце: $\frac{a-3b}{a-b} + \frac{4b}{a-b} = \frac{a-3b+4b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

б) $\frac{2y+x}{x-1} + \frac{x-3y}{1-x}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{x-3y}{1-x} = \frac{-(x-3y)}{-(1-x)} = \frac{3y-x}{x-1}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{2y+x}{x-1} + \frac{3y-x}{x-1} = \frac{2y+x+3y-x}{x-1} = \frac{5y}{x-1}$.
Ответ: $\frac{5y}{x-1}$.

в) $\frac{1-x}{x-y} + \frac{1-6x}{y-x}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{1-6x}{y-x} = \frac{-(1-6x)}{-(y-x)} = \frac{6x-1}{x-y}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{1-x}{x-y} + \frac{6x-1}{x-y} = \frac{1-x+6x-1}{x-y} = \frac{5x}{x-y}$.
Ответ: $\frac{5x}{x-y}$.

г) $\frac{2m}{m-n} + \frac{3n-m}{n-m}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{3n-m}{n-m} = \frac{-(3n-m)}{-(n-m)} = \frac{m-3n}{m-n}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{2m}{m-n} + \frac{m-3n}{m-n} = \frac{2m+m-3n}{m-n} = \frac{3m-3n}{m-n} = \frac{3(m-n)}{m-n} = 3$.
Ответ: $3$.