Страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сократите дробь (40–42).

40 a) $ \frac{m - n}{n - m} $;

б) $ \frac{2(x - y)}{x(y - x)} $;

в) $ \frac{a^2(a - 2)}{a(2 - a)} $;

г) $ \frac{x^2(c - x)}{cx(x - c)} $;

д) $ \frac{a(a - 3)^2}{b(3 - a)^2} $;

е) $ \frac{b^2c(b - c)}{bc(c - b)^2} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{m-n}{n-m}$, необходимо заметить, что числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Вынесем в знаменателе знак минус за скобки.

$n-m = -(-n+m) = -(m-n)$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{m-n}{n-m} = \frac{m-n}{-(m-n)}$

При условии, что $m \neq n$ (чтобы знаменатель не был равен нулю), мы можем сократить общий множитель $(m-n)$:

$\frac{1 \cdot (m-n)}{-1 \cdot (m-n)} = \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2(x-y)}{x(y-x)}$, вынесем в знаменателе знак минус из скобки $(y-x)$.

$y-x = -(x-y)$

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{2(x-y)}{x(y-x)} = \frac{2(x-y)}{x \cdot (-(x-y))} = \frac{2(x-y)}{-x(x-y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$ при условии, что $x \neq y$ и $x \neq 0$.

$\frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$

Ответ: $-\frac{2}{x}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2(a-2)}{a(2-a)}$, вынесем в знаменателе знак минус из выражения $(2-a)$.

$2-a = -(a-2)$

Подставим в дробь:

$\frac{a^2(a-2)}{a(2-a)} = \frac{a^2(a-2)}{a \cdot (-(a-2))} = -\frac{a^2(a-2)}{a(a-2)}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-2)$, при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq 2$.

$-\frac{a^2}{a} = -a$

Ответ: $-a$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2(c-x)}{cx(x-c)}$, вынесем в знаменателе знак минус из выражения $(x-c)$.

$x-c = -(c-x)$

Подставим в дробь:

$\frac{x^2(c-x)}{cx(x-c)} = \frac{x^2(c-x)}{cx \cdot (-(c-x))} = -\frac{x^2(c-x)}{cx(c-x)}$

Сократим общие множители $x$ и $(c-x)$, при условии, что $c \neq 0$, $x \neq 0$ и $c \neq x$.

$-\frac{x^2}{cx} = -\frac{x}{c}$

Ответ: $-\frac{x}{c}$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{a(a-3)^2}{b(3-a)^2}$, воспользуемся свойством квадрата разности: $(x-y)^2 = (y-x)^2$. Это свойство следует из того, что $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (-1)^2(x-y)^2 = (x-y)^2$.

Применим это свойство к знаменателю: $(3-a)^2 = (a-3)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{a(a-3)^2}{b(3-a)^2} = \frac{a(a-3)^2}{b(a-3)^2}$

Сократим общий множитель $(a-3)^2$, при условии, что $b \neq 0$ и $a \neq 3$.

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{b^2c(b-c)}{bc(c-b)^2}$, преобразуем выражение $(c-b)^2$ в знаменателе, используя свойство $(c-b)^2 = (b-c)^2$.

$\frac{b^2c(b-c)}{bc(c-b)^2} = \frac{b^2c(b-c)}{bc(b-c)^2}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе: $b$, $c$ и $(b-c)$. Область допустимых значений: $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq c$.

$\frac{b^2c(b-c)}{bc(b-c)^2} = \frac{b \cdot b \cdot c \cdot (b-c)}{b \cdot c \cdot (b-c) \cdot (b-c)} = \frac{b}{b-c}$

Ответ: $\frac{b}{b-c}$

41 a) $ \frac{y^2 - y}{1 - y^2} $;

Б) $ \frac{a^2 - 4}{2a - a^2} $;

В) $ \frac{3x - 3c}{ac - ax} $;

Г) $ \frac{5a^2 - 10ab}{2b^2 - ab} $;

Д) $ \frac{m^2 - n^2}{(n - m)^2} $;

е) $ \frac{z^2 - 3z}{9 - 6z + z^2} $;

Ж) $ \frac{x^3 - x}{x - x^2} $;

З) $ \frac{a^2x - ax^2}{x^2 - ax} $;

И) $ \frac{p^2 - 2pn + n^2}{n^2 - pn} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{y^2 - y}{1 - y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y^2 - y = y(y - 1)$.

Знаменатель является разностью квадратов $1^2 - y^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$.

Получаем дробь: $\frac{y(y - 1)}{(1 - y)(1 + y)}$.

Заметим, что множители $(y - 1)$ и $(1 - y)$ являются противоположными, то есть $y - 1 = -(1 - y)$. Заменим $(y-1)$ на $-(1-y)$ в числителе:

$\frac{-y(1 - y)}{(1 - y)(1 + y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(1 - y)$:

$\frac{-y}{1 + y} = -\frac{y}{1 + y}$

Ответ: $-\frac{y}{y + 1}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 4}{2a - a^2}$.

Числитель $a^2 - 4$ — это разность квадратов: $a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

В знаменателе $2a - a^2$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(2 - a)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(a - 2)(a + 2)}{a(2 - a)}$.

Множители $(a - 2)$ и $(2 - a)$ противоположны: $a - 2 = -(2 - a)$. Выполним замену в числителе:

$\frac{-(2 - a)(a + 2)}{a(2 - a)}$

Сокращаем на общий множитель $(2 - a)$:

$\frac{-(a + 2)}{a} = -\frac{a + 2}{a}$

Ответ: $-\frac{a + 2}{a}$

в)

Сократим дробь $\frac{3x - 3c}{ac - ax}$.

В числителе выносим за скобки общий множитель 3: $3(x - c)$.

В знаменателе выносим за скобки общий множитель $a$: $a(c - x)$.

Получаем: $\frac{3(x - c)}{a(c - x)}$.

Так как $x - c = -(c - x)$, подставим это в дробь:

$\frac{3(-(c - x))}{a(c - x)} = \frac{-3(c - x)}{a(c - x)}$

Сокращаем на $(c - x)$:

$-\frac{3}{a}$

Ответ: $-\frac{3}{a}$

г)

Сократим дробь $\frac{5a^2 - 10ab}{2b^2 - ab}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$: $5a(a - 2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(2b - a)$.

Дробь примет вид: $\frac{5a(a - 2b)}{b(2b - a)}$.

Используем то, что $a - 2b = -(2b - a)$:

$\frac{5a(-(2b - a))}{b(2b - a)} = \frac{-5a(2b - a)}{b(2b - a)}$

Сокращаем на $(2b - a)$:

$-\frac{5a}{b}$

Ответ: $-\frac{5a}{b}$

д)

Сократим дробь $\frac{m^2 - n^2}{(n - m)^2}$.

Числитель $m^2 - n^2$ — это разность квадратов: $(m - n)(m + n)$.

Знаменатель $(n - m)^2$ можно представить как $(-(m - n))^2 = (m - n)^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{(m - n)(m + n)}{(m - n)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{m + n}{m - n}$

Ответ: $\frac{m + n}{m - n}$

е)

Сократим дробь $\frac{z^2 - 3z}{9 - 6z + z^2}$.

В числителе вынесем общий множитель $z$: $z(z - 3)$.

Знаменатель $9 - 6z + z^2$ — это квадрат разности: $z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = (z - 3)^2$.

Получаем дробь: $\frac{z(z - 3)}{(z - 3)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(z - 3)$:

$\frac{z}{z - 3}$

Ответ: $\frac{z}{z - 3}$

ж)

Сократим дробь $\frac{x^3 - x}{x - x^2}$.

В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 1)$. Затем разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов: $x(x - 1)(x + 1)$.

В знаменателе вынесем $x$ за скобки: $x(1 - x)$.

Дробь примет вид: $\frac{x(x - 1)(x + 1)}{x(1 - x)}$.

Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{(x - 1)(x + 1)}{1 - x}$.

Используя $x - 1 = -(1 - x)$, получаем:

$\frac{-(1 - x)(x + 1)}{1 - x} = -(x + 1)$

Ответ: $-(x + 1)$

з)

Сократим дробь $\frac{a^2x - ax^2}{x^2 - ax}$.

В числителе вынесем общий множитель $ax$: $ax(a - x)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $x$: $x(x - a)$.

Получим дробь: $\frac{ax(a - x)}{x(x - a)}$.

Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{a(a - x)}{x - a}$.

Так как $a - x = -(x - a)$, то:

$\frac{a(-(x - a))}{x - a} = -a$

Ответ: $-a$

и)

Сократим дробь $\frac{p^2 - 2pn + n^2}{n^2 - pn}$.

Числитель $p^2 - 2pn + n^2$ — это квадрат разности: $(p - n)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $n$: $n(n - p)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(p - n)^2}{n(n - p)}$.

Используем свойство $(p - n)^2 = (-(n - p))^2 = (n - p)^2$:

$\frac{(n - p)^2}{n(n - p)}$

Сокращаем на общий множитель $(n - p)$:

$\frac{n - p}{n}$

Ответ: $\frac{n - p}{n}$

42 а) $\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)};$

б) $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)};$

В) $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)};$

Г) $\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}.$

а) Преобразуем выражение, используя свойство $y - x = -(x - y)$.
В числителе: $a(x - y) - b(y - x) = a(x - y) - b(-(x - y)) = a(x - y) + b(x - y)$. Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки: $(a + b)(x - y)$.
В знаменателе: $(a - b)(y - x)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b)(x - y)}{(a - b)(y - x)}$.
Теперь заменим в знаменателе $y - x$ на $-(x - y)$: $\frac{(a + b)(x - y)}{(a - b)(-(x - y))} = \frac{(a + b)(x - y)}{-(a - b)(x - y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии $x \neq y$): $\frac{a + b}{-(a - b)}$.
Раскроем скобки в знаменателе: $-(a - b) = -a + b = b - a$.
В результате получаем: $\frac{a + b}{b - a}$.
Ответ: $\frac{a + b}{b - a}$

б) В знаменателе дроби $\frac{(1 - n)(n - 2)}{2(n - 1) - n(n - 1)}$ вынесем общий множитель $(n - 1)$ за скобки: $2(n - 1) - n(n - 1) = (2 - n)(n - 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(1 - n)(n - 2)}{(2 - n)(n - 1)}$.
Преобразуем множители в числителе, вынеся за скобки -1: $1 - n = -(n - 1)$ и $n - 2 = -(2 - n)$.
Числитель становится: $(-(n - 1)) \cdot (-(2 - n)) = (n - 1)(2 - n)$.
Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{(n - 1)(2 - n)}{(2 - n)(n - 1)}$.
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (при $n \neq 1$ и $n \neq 2$), получаем 1.
Ответ: $1$

в) Рассмотрим выражение $\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{(a - p)(b - p)(c - p)}$.
Для каждого множителя в числителе вынесем -1 за скобки:
$p - a = -(a - p)$
$p - b = -(b - p)$
$p - c = -(c - p)$
Тогда числитель преобразуется в: $(-(a - p)) \cdot (-(b - p)) \cdot (-(c - p)) = (-1)^3 (a - p)(b - p)(c - p) = -(a - p)(b - p)(c - p)$.
Дробь принимает вид: $\frac{-(a - p)(b - p)(c - p)}{(a - p)(b - p)(c - p)}$.
Сокращаем дробь на общие множители $(a - p)(b - p)(c - p)$ (при условии, что $p \neq a, p \neq b, p \neq c$), в результате чего остается -1.
Ответ: $-1$

г) Рассмотрим выражение $\frac{(a + b - c)(a - b)}{(c - a - b)(a - c)}$.
Преобразуем множитель $(c - a - b)$ в знаменателе, вынеся -1 за скобки: $c - a - b = -( -c + a + b) = -(a + b - c)$.
Подставим преобразованный множитель обратно в знаменатель: $-(a + b - c)(a - c)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b - c)(a - b)}{-(a + b - c)(a - c)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + b - c)$ (при условии $a + b - c \neq 0$): $\frac{a - b}{-(a - c)}$.
Внесем минус в знаменатель, поменяв знаки у слагаемых: $\frac{a - b}{c - a}$.
Ответ: $\frac{a - b}{c - a}$

43 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.

А) $\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{2(a - b)^2}{8(b - a)} = ...$

Б) $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} = \frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2} = - \frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2} = ...$

А)

Андрей допустил ошибку в первом же шаге. При вынесении общего множителя из скобки, которая возводится в квадрат, необходимо возвести в квадрат и этот множитель.

Правильное преобразование числителя: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 2^2(a - b)^2 = 4(a - b)^2$. Андрей же получил $2(a - b)^2$, забыв возвести 2 в квадрат.

Исправим ошибку и доведем решение до конца:

$\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{4(a - b)^2}{8(b - a)}$

В знаменателе вынесем -1 за скобки, чтобы получить такое же выражение, как и в числителе: $8(b - a) = -8(a - b)$.

$\frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $4(a - b)$:

$\frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)} = \frac{a - b}{-2} = -\frac{a - b}{2} = \frac{b - a}{2}$

Ответ: Андрей ошибся. Правильное решение: $\frac{b - a}{2}$.

Б)

Борис выполнил первые шаги правильно. Разберем его преобразования:

1. Исходная дробь: $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2}$.

2. Он вынес общие множители:

В числителе: $4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$. Это верно.

В знаменателе: $(4n - 4m)^2 = (4(n - m))^2 = 4^2(n - m)^2 = 16(n - m)^2$. Это тоже верно.

Получилась дробь: $\frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2}$.

3. Далее он раскладывает числитель по формуле разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ и сокращает числовой коэффициент $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Также он использует свойство, что $(n - m)^2 = (m - n)^2$. Все эти преобразования верны.

$\frac{4(m - n)(m + n)}{16(m - n)^2} = \frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2}$

Доведем решение до конца, сократив дробь на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2} = \frac{m + n}{4(m - n)}$

Ответ: Борис сделал первые шаги правильно. Окончательный результат: $\frac{m + n}{4(m - n)}$.