Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

19 Исследуем

1) Сравните значения выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ при $x = -2, y = 5$ и при $x = 5, y = -2.

Изменится ли данное выражение, если вместо переменной $x$ подставить переменную $y$, а вместо переменной $y$ – переменную $x$? Проверьте свой ответ, выполнив такую замену.

Рис. 1.2

2) Выражение с двумя переменными, например $x$ и $y$, называют симметрическим, если оно не меняется при подстановке $y$ вместо $x$ и $x$ вместо $y$. Какие из следующих выражений являются симметрическими: $x^3 + y^3$, $x^2 - y^2$, $x(x + y)$, $xy(x + y)$, $\frac{x^2 + y^2}{y}$, $\frac{(x - y)^2}{xy}$, $(x + y)^2 - 2xy?

3) Придумайте примеры симметрических выражений.

1) Сначала найдем значение выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ при $x = -2$ и $y = 5$.

Подставляем значения в выражение:

$\frac{(-2)^2 + 5^2}{(-2) \cdot 5} = \frac{4 + 25}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$

Теперь найдем значение этого же выражения при $x = 5$ и $y = -2$.

Подставляем значения:

$\frac{5^2 + (-2)^2}{5 \cdot (-2)} = \frac{25 + 4}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$

Сравнивая полученные результаты, видим, что они равны: $-2.9 = -2.9$.

Теперь проверим, изменится ли данное выражение, если вместо переменной $x$ подставить переменную $y$, а вместо переменной $y$ — переменную $x$. Исходное выражение: $E(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{xy}$.

Выполним замену:

$E(y, x) = \frac{y^2 + x^2}{yx}$

В числителе используется сложение, которое коммутативно ($x^2 + y^2 = y^2 + x^2$). В знаменателе используется умножение, которое также коммутативно ($xy = yx$). Поэтому выражение после замены тождественно равно исходному:

$\frac{y^2 + x^2}{yx} = \frac{x^2 + y^2}{xy}$

Таким образом, выражение не меняется при перестановке переменных.

Ответ: Значения выражения равны. Выражение не изменится, если вместо переменной $x$ подставить переменную $y$, а вместо переменной $y$ — переменную $x$.

2) Симметрическим называется выражение, которое не меняется при одновременной замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$. Проверим каждое из предложенных выражений, подставив $y$ вместо $x$ и $x$ вместо $y$.
• $x^3 + y^3$: заменяем и получаем $y^3 + x^3$. Так как $y^3 + x^3 = x^3 + y^3$, это выражение является симметрическим.
• $x^2 - y^2$: заменяем и получаем $y^2 - x^2$. Так как $y^2 - x^2 = -(x^2 - y^2) \ne x^2 - y^2$ (в общем случае), это выражение не является симметрическим.
• $x(x + y)$: заменяем и получаем $y(y + x) = y^2 + yx$. Так как $y^2 + yx \ne x^2 + xy$ (в общем случае), это выражение не является симметрическим.
• $xy(x + y)$: заменяем и получаем $yx(y + x)$. Так как умножение коммутативно ($yx=xy$) и сложение коммутативно ($y+x=x+y$), то $yx(y+x) = xy(x+y)$. Это выражение является симметрическим.
• $\frac{x^2+y^2}{y}$: заменяем и получаем $\frac{y^2+x^2}{x}$. Так как знаменатели разные ($y \ne x$ в общем случае), это выражение не является симметрическим.
• $\frac{(x - y)^2}{xy}$: заменяем и получаем $\frac{(y - x)^2}{yx}$. Поскольку $(y - x)^2 = (-(x-y))^2 = (x-y)^2$ и $yx=xy$, выражение не изменяется. Это выражение является симметрическим.
• $(x + y)^2 - 2xy$: заменяем и получаем $(y + x)^2 - 2yx$. Так как $y+x=x+y$ и $yx=xy$, выражение не изменяется. Это выражение является симметрическим. (Можно также заметить, что оно равно $x^2+y^2$).

Ответ: Симметрическими являются выражения: $x^3 + y^3$, $xy(x + y)$, $\frac{(x - y)^2}{xy}$, $(x + y)^2 - 2xy$.

3) Чтобы придумать примеры симметрических выражений, нужно составить такие комбинации переменных $x$ и $y$, которые не изменятся, если поменять переменные местами. Вот несколько примеров:

1. Сумма переменных: $x+y$. При замене получаем $y+x$, что то же самое.
2. Произведение переменных: $xy$. При замене получаем $yx$, что то же самое.
3. Сумма одинаковых степеней: $x^n+y^n$, например $x^4+y^4$.
4. Выражение, построенное на основе простейших симметрических выражений $x+y$ и $xy$. Например: $5(x+y) - (xy)^2$.
5. Модуль разности: $|x-y|$. При замене получаем $|y-x| = |-(x-y)| = |x-y|$.

Ответ: Примеры симметрических выражений: $x+y$, $xy$, $x^2+y^2$, $|x-y|$, $\frac{3}{x}+\frac{3}{y}$.