Страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

21 Приведите дробь:

а) $\frac{a}{c}$ к знаменателю $2c; ac; -c; c^2; 3c^2;$

б) $\frac{x+y}{xy}$ к знаменателю $x^2y^2; xy^2; x^3y; 2xy; -xy;$

в) $\frac{m}{m-n}$ к знаменателю $m(m-n); m^2-n^2; m^2n-mn^2;$

г) $\frac{x-1}{x+1}$ к знаменателю $(x+1)^2; x^2-1; x^2+x.$

Чтобы привести дробь $ \frac{a}{c} $ к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный ($c$), и умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби.
- Для знаменателя $2c$, дополнительный множитель равен $ \frac{2c}{c} = 2 $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot 2}{c \cdot 2} = \frac{2a}{2c} $.
- Для знаменателя $ac$, дополнительный множитель равен $ \frac{ac}{c} = a $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot a}{c \cdot a} = \frac{a^2}{ac} $.
- Для знаменателя $-c$, дополнительный множитель равен $ \frac{-c}{c} = -1 $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot (-1)}{c \cdot (-1)} = \frac{-a}{-c} $.
- Для знаменателя $c^2$, дополнительный множитель равен $ \frac{c^2}{c} = c $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot c}{c \cdot c} = \frac{ac}{c^2} $.
- Для знаменателя $3c^2$, дополнительный множитель равен $ \frac{3c^2}{c} = 3c $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot 3c}{c \cdot 3c} = \frac{3ac}{3c^2} $.

Ответ: $ \frac{2a}{2c}; \frac{a^2}{ac}; \frac{-a}{-c}; \frac{ac}{c^2}; \frac{3ac}{3c^2} $.

Приведем дробь $ \frac{x+y}{xy} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $xy$.
- Для знаменателя $x^2y^2$, дополнительный множитель $ \frac{x^2y^2}{xy} = xy $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot xy}{xy \cdot xy} = \frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2} $.
- Для знаменателя $xy^2$, дополнительный множитель $ \frac{xy^2}{xy} = y $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot y}{xy \cdot y} = \frac{xy+y^2}{xy^2} $.
- Для знаменателя $x^3y$, дополнительный множитель $ \frac{x^3y}{xy} = x^2 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot x^2}{xy \cdot x^2} = \frac{x^3+x^2y}{x^3y} $.
- Для знаменателя $2xy$, дополнительный множитель $ \frac{2xy}{xy} = 2 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot 2}{xy \cdot 2} = \frac{2x+2y}{2xy} $.
- Для знаменателя $-xy$, дополнительный множитель $ \frac{-xy}{xy} = -1 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot (-1)}{xy \cdot (-1)} = \frac{-x-y}{-xy} $.

Ответ: $ \frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2}; \frac{xy+y^2}{xy^2}; \frac{x^3+x^2y}{x^3y}; \frac{2x+2y}{2xy}; \frac{-x-y}{-xy} $.

Приведем дробь $ \frac{m}{m-n} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $m-n$.
- Для знаменателя $m(m-n)$, дополнительный множитель $ \frac{m(m-n)}{m-n} = m $. Получаем: $ \frac{m \cdot m}{(m-n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m-n)} $.
- Для знаменателя $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$, дополнительный множитель $m+n$. Получаем: $ \frac{m \cdot (m+n)}{(m-n) \cdot (m+n)} = \frac{m^2+mn}{m^2-n^2} $.
- Для знаменателя $m^2n-mn^2 = mn(m-n)$, дополнительный множитель $mn$. Получаем: $ \frac{m \cdot mn}{(m-n) \cdot mn} = \frac{m^2n}{m^2n-mn^2} $.

Ответ: $ \frac{m^2}{m(m-n)}; \frac{m^2+mn}{m^2-n^2}; \frac{m^2n}{m^2n-mn^2} $.

Приведем дробь $ \frac{x-1}{x+1} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $x+1$.
- Для знаменателя $(x+1)^2$, дополнительный множитель $x+1$. Получаем: $ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)} = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} $.
- Для знаменателя $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, дополнительный множитель $x-1$. Получаем: $ \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2-1} $.
- Для знаменателя $x^2+x = x(x+1)$, дополнительный множитель $x$. Получаем: $ \frac{(x-1)x}{(x+1)x} = \frac{x^2-x}{x^2+x} $.

Ответ: $ \frac{x^2-1}{(x+1)^2}; \frac{(x-1)^2}{x^2-1}; \frac{x^2-x}{x^2+x} $.

Сократите дробь (22—25).

22 а) $\frac{16x}{4}$;

б) $\frac{10}{15m}$;

В) $\frac{3x}{2ax}$;

Г) $\frac{12xy}{20y}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{16x}{4} $, необходимо разделить и числитель, и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). В данном случае, НОД для чисел $16$ и $4$ равен $4$.

Выполним деление:

$ \frac{16x}{4} = \frac{16 \div 4}{4 \div 4} \cdot x = \frac{4}{1} \cdot x = 4x $

Ответ: $4x$

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{10}{15m} $, найдем НОД для числителя $10$ и знаменателя $15m$.

НОД для чисел $10$ и $15$ равен $5$. Переменная $m$ находится только в знаменателе, поэтому она не сокращается.

Разделим числитель и знаменатель на $5$:

$ \frac{10}{15m} = \frac{10 \div 5}{15m \div 5} = \frac{2}{3m} $

Ответ: $ \frac{2}{3m} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{3x}{2ax} $, найдем общие множители в числителе и знаменателе.

Числовые коэффициенты $3$ и $2$ являются взаимно простыми. Общим множителем является переменная $x$.

Сократим дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$ \frac{3x}{2ax} = \frac{3 \cdot x}{2 \cdot a \cdot x} = \frac{3}{2a} $

Ответ: $ \frac{3}{2a} $

г) Чтобы сократить дробь $ \frac{12xy}{20y} $, найдем НОД для числителя и знаменателя.

Для числовых коэффициентов $12$ и $20$ НОД равен $4$.

Общим множителем для переменных является $y$.

Следовательно, мы можем сократить дробь на $4y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$ \frac{12xy}{20y} = \frac{12 \cdot x \cdot y}{20 \cdot y} = \frac{(3 \cdot 4) \cdot x \cdot y}{(5 \cdot 4) \cdot y} = \frac{3x}{5} $

Ответ: $ \frac{3x}{5} $

23 a) $\frac{18ab^2}{18ab}$;

б) $\frac{2x^2y}{10xy^2}$;

В) $\frac{abc}{a^2c^2}$;

Г) $\frac{24m^3n}{16m^2n^2}$;

Д) $\frac{xy^3z^5}{x^5y^3z}$;

е) $\frac{2^5p^4q^4}{2^6p^8q^2}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{18ab^2}{18ab}$, мы сокращаем общие множители в числителе и знаменателе. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общие части.

1. Сократим числовой коэффициент: $\frac{18}{18} = 1$.

2. Сократим переменную $a$: $\frac{a}{a} = 1$.

3. Сократим переменную $b$, используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$: $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b$.

Объединяя результаты, получаем: $\frac{18ab^2}{18ab} = \frac{\cancel{18}\cancel{a}b^2}{\cancel{18}\cancel{a}b} = b$.

Ответ: $b$

б) Упростим выражение $\frac{2x^2y}{10xy^2}$.

1. Сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для 2 и 10 равен 2: $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

2. Сократим переменную $x$: $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$. Множитель $x$ остается в числителе.

3. Сократим переменную $y$: $\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$. Множитель $y$ остается в знаменателе.

Собрав все вместе, получаем: $\frac{2x^2y}{10xy^2} = \frac{2}{10} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y^2} = \frac{1}{5} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{5y}$.

Ответ: $\frac{x}{5y}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{abc}{a^2c^2}$.

1. Сократим переменную $a$: $\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.

2. Переменная $b$ есть только в числителе, поэтому она там и остается.

3. Сократим переменную $c$: $\frac{c}{c^2} = c^{1-2} = c^{-1} = \frac{1}{c}$.

Объединяем: $\frac{a}{a^2} \cdot b \cdot \frac{c}{c^2} = \frac{1}{a} \cdot b \cdot \frac{1}{c} = \frac{b}{ac}$.

Ответ: $\frac{b}{ac}$

г) Упростим выражение $\frac{24m^3n}{16m^2n^2}$.

1. Сократим коэффициенты. Наибольший общий делитель для 24 и 16 равен 8: $\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

2. Сократим переменную $m$: $\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$.

3. Сократим переменную $n$: $\frac{n}{n^2} = n^{1-2} = n^{-1} = \frac{1}{n}$.

Собираем все части: $\frac{3}{2} \cdot m \cdot \frac{1}{n} = \frac{3m}{2n}$.

Ответ: $\frac{3m}{2n}$

д) Упростим дробь $\frac{xy^3z^5}{x^5y^3z}$.

Применим правило деления степеней для каждой переменной:

1. Для $x$: $\frac{x}{x^5} = x^{1-5} = x^{-4} = \frac{1}{x^4}$.

2. Для $y$: $\frac{y^3}{y^3} = y^{3-3} = y^0 = 1$.

3. Для $z$: $\frac{z^5}{z} = z^{5-1} = z^4$.

Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{x^4} \cdot 1 \cdot z^4 = \frac{z^4}{x^4}$.

Ответ: $\frac{z^4}{x^4}$

е) Рассмотрим выражение $\frac{2^5p^4q^4}{2^6p^8q^2}$.

Упростим дробь, сокращая степени с одинаковыми основаниями:

1. Для основания 2: $\frac{2^5}{2^6} = 2^{5-6} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

2. Для переменной $p$: $\frac{p^4}{p^8} = p^{4-8} = p^{-4} = \frac{1}{p^4}$.

3. Для переменной $q$: $\frac{q^4}{q^2} = q^{4-2} = q^2$.

Объединим результаты: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p^4} \cdot q^2 = \frac{q^2}{2p^4}$.

Ответ: $\frac{q^2}{2p^4}$

24 а) $ \frac{2a-2c}{8a} $;

б) $ \frac{10m-5n}{5n} $;

в) $ \frac{3x+3y}{3x-3y} $;

г) $ \frac{2ab-2c}{2ac-2b} $.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{2a-2c}{8a}$, необходимо найти общий множитель в числителе и сократить его со знаменателем.

1. Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе: $2a-2c = 2(a-c)$.

2. Подставим полученное выражение обратно в дробь: $\frac{2(a-c)}{8a}$.

3. Сократим числитель и знаменатель на их общий множитель 2: $\frac{2(a-c)}{8a} = \frac{a-c}{4a}$.

Ответ: $\frac{a-c}{4a}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{10m-5n}{5n}$.

1. В числителе $10m-5n$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $10m-5n = 5(2m-n)$.

2. Дробь примет вид: $\frac{5(2m-n)}{5n}$.

3. Сократим общий множитель 5 в числителе и знаменателе: $\frac{5(2m-n)}{5n} = \frac{2m-n}{n}$.

Ответ: $\frac{2m-n}{n}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{3x+3y}{3x-3y}$.

1. Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе: $3x+3y = 3(x+y)$.

2. Вынесем общий множитель 3 за скобки в знаменателе: $3x-3y = 3(x-y)$.

3. Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{3(x+y)}{3(x-y)}$.

4. Сократим общий множитель 3: $\frac{3(x+y)}{3(x-y)} = \frac{x+y}{x-y}$.

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{2ab-2c}{2ac-2b}$.

1. Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе: $2ab-2c = 2(ab-c)$.

2. Вынесем общий множитель 2 за скобки в знаменателе: $2ac-2b = 2(ac-b)$.

3. Дробь примет вид: $\frac{2(ab-c)}{2(ac-b)}$.

4. Сократим общий множитель 2: $\frac{2(ab-c)}{2(ac-b)} = \frac{ab-c}{ac-b}$.

Ответ: $\frac{ab-c}{ac-b}$

25 a) $\frac{am}{am + m}$;

Б) $\frac{x}{xy - x}$;

В) $\frac{ac - ab}{abc}$;

Г) $\frac{a^2b + ab}{ab}$;

Д) $\frac{3xy}{3x^2y - 6xy}$;

е) $\frac{2mnp}{2m^2p - 6mp}$.

а) В знаменателе дроби $\frac{am}{am+m}$ вынесем общий множитель $m$ за скобки: $am+m = m(a+1)$. Получим дробь $\frac{am}{m(a+1)}$. Теперь можно сократить дробь на общий множитель $m$. В результате получаем $\frac{a}{a+1}$.
$\frac{am}{am+m} = \frac{am}{m(a+1)} = \frac{a}{a+1}$.
Ответ: $\frac{a}{a+1}$.

б) В знаменателе дроби $\frac{x}{xy-x}$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $xy-x = x(y-1)$. Получим дробь $\frac{x}{x(y-1)}$. Сократим дробь на общий множитель $x$. В результате получаем $\frac{1}{y-1}$.
$\frac{x}{xy-x} = \frac{x}{x(y-1)} = \frac{1}{y-1}$.
Ответ: $\frac{1}{y-1}$.

в) В числителе дроби $\frac{ac-ab}{abc}$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $ac-ab = a(c-b)$. Получим дробь $\frac{a(c-b)}{abc}$. Сократим дробь на общий множитель $a$. В результате получаем $\frac{c-b}{bc}$.
$\frac{ac-ab}{abc} = \frac{a(c-b)}{abc} = \frac{c-b}{bc}$.
Ответ: $\frac{c-b}{bc}$.

г) В числителе дроби $\frac{a^2b+ab}{ab}$ вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $a^2b+ab = ab(a+1)$. Получим дробь $\frac{ab(a+1)}{ab}$. Сократим дробь на общий множитель $ab$. В результате получаем $a+1$.
$\frac{a^2b+ab}{ab} = \frac{ab(a+1)}{ab} = a+1$.
Ответ: $a+1$.

д) В знаменателе дроби $\frac{3xy}{3x^2y-6xy}$ вынесем общий множитель $3xy$ за скобки: $3x^2y-6xy = 3xy(x-2)$. Получим дробь $\frac{3xy}{3xy(x-2)}$. Сократим дробь на общий множитель $3xy$. В результате получаем $\frac{1}{x-2}$.
$\frac{3xy}{3x^2y-6xy} = \frac{3xy}{3xy(x-2)} = \frac{1}{x-2}$.
Ответ: $\frac{1}{x-2}$.

е) В знаменателе дроби $\frac{2mnp}{2m^2p-6mp}$ вынесем общий множитель $2mp$ за скобки: $2m^2p-6mp = 2mp(m-3)$. Получим дробь $\frac{2mnp}{2mp(m-3)}$. Сократим дробь на общий множитель $2mp$. В результате получаем $\frac{n}{m-3}$.
$\frac{2mnp}{2m^2p-6mp} = \frac{2mp \cdot n}{2mp(m-3)} = \frac{n}{m-3}$.
Ответ: $\frac{n}{m-3}$.

26 Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

а) $\frac{ax - bx}{mx + nx}$;

б) $\frac{am - an}{bm - bn}$;

В) $\frac{x^2 - 2x}{xy - 2y}$;

Г) $\frac{d^2 - d}{d^2 + d}$;

Д) $\frac{a^2 + ab}{a^2 + ac}$;

е) $\frac{y^2 + xy}{x^2 + xy}$.

а) Для того чтобы сократить дробь $\frac{ax - bx}{mx + nx}$, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель. В обоих случаях мы можем вынести общий множитель за скобки.

В числителе $ax - bx$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $ax - bx = x(a - b)$.

В знаменателе $mx + nx$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $mx + nx = x(m + n)$.

Теперь дробь можно переписать в виде: $\frac{x(a - b)}{x(m + n)}$.

Сократим дробь на общий множитель $x$ (при условии, что $x \neq 0$): $\frac{\cancel{x}(a - b)}{\cancel{x}(m + n)} = \frac{a - b}{m + n}$.

Ответ: $\frac{a - b}{m + n}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{am - an}{bm - bn}$. Разложим числитель и знаменатель на множители, вынеся общие множители за скобки.

Числитель: $am - an = a(m - n)$.

Знаменатель: $bm - bn = b(m - n)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{a(m - n)}{b(m - n)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(m - n)$ (при условии, что $m \neq n$): $\frac{a\cancel{(m - n)}}{b\cancel{(m - n)}} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 2x}{xy - 2y}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 2)$.

В знаменателе $xy - 2y$ вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(x - 2)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{x(x - 2)}{y(x - 2)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x - 2)$ (при условии, что $x \neq 2$): $\frac{x\cancel{(x - 2)}}{y\cancel{(x - 2)}} = \frac{x}{y}$.

Ответ: $\frac{x}{y}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{d^2 - d}{d^2 + d}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $d^2 - d$ вынесем общий множитель $d$ за скобки: $d(d - 1)$.

В знаменателе $d^2 + d$ вынесем общий множитель $d$ за скобки: $d(d + 1)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{d(d - 1)}{d(d + 1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $d$ (при условии, что $d \neq 0$): $\frac{\cancel{d}(d - 1)}{\cancel{d}(d + 1)} = \frac{d - 1}{d + 1}$.

Ответ: $\frac{d - 1}{d + 1}$.

д) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 + ab}{a^2 + ac}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $a^2 + ab$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a + b)$.

В знаменателе $a^2 + ac$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(a + c)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a(a + b)}{a(a + c)}$.

Сократим дробь на общий множитель $a$ (при условии, что $a \neq 0$): $\frac{\cancel{a}(a + b)}{\cancel{a}(a + c)} = \frac{a + b}{a + c}$.

Ответ: $\frac{a + b}{a + c}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{y^2 + xy}{x^2 + xy}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $y^2 + xy$ вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(y + x)$.

В знаменателе $x^2 + xy$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x + y)$.

Дробь принимает вид: $\frac{y(y + x)}{x(x + y)}$.

Так как от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, $y + x = x + y$. Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x \neq -y$): $\frac{y\cancel{(y + x)}}{x\cancel{(x + y)}} = \frac{y}{x}$.

Ответ: $\frac{y}{x}$.

Сократите дробь (27—30).

a) $\frac{y^3}{y^3 + y^2}$;

б) $\frac{5a^2}{a^4 + a^2}$;

В) $\frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1}$;

Г) $\frac{b^5 - b^4}{b^5}$;

Д) $\frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3}$;

е) $\frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{y^3}{y^3 + y^2} $, необходимо разложить ее знаменатель на множители. Общий множитель в выражении $ y^3 + y^2 $ это $ y^2 $. Вынесем его за скобки: $ y^3 + y^2 = y^2(y+1) $.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{y^3}{y^3 + y^2} = \frac{y^3}{y^2(y+1)} $
Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $ y^2 $. Поскольку $ y^3 = y \cdot y^2 $, получаем:
$ \frac{y \cdot y^2}{y^2(y+1)} = \frac{y}{y+1} $
Сокращение возможно при условии, что общий множитель не равен нулю, то есть $ y^2 \neq 0 $, откуда $ y \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{y}{y+1} $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{5a^2}{a^4 + a^2} $. Для ее сокращения разложим на множители знаменатель. Общим множителем для слагаемых $ a^4 $ и $ a^2 $ является $ a^2 $. Вынесем его за скобки: $ a^4 + a^2 = a^2(a^2+1) $.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$ \frac{5a^2}{a^2(a^2+1)} $
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ a^2 $:
$ \frac{5}{a^2+1} $
Сокращение возможно при условии, что $ a^2 \neq 0 $, то есть $ a \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{5}{a^2+1} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1} $, разложим на множители числитель. Общий множитель для $ x^5 $ и $ x^3 $ это $ x^3 $. Вынесем его за скобки: $ x^5 + x^3 = x^3(x^2+1) $.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$ \frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} $
Сократим дробь на общий множитель $ (x^2+1) $.
$ \frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} = x^3 $
Знаменатель $ x^2+1 $ никогда не равен нулю для действительных значений $ x $, поэтому сокращение возможно всегда.
Ответ: $ x^3 $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{b^5 - b^4}{b^5} $. Разложим числитель на множители. Общий множитель для $ b^5 $ и $ b^4 $ это $ b^4 $. Вынесем его за скобки: $ b^5 - b^4 = b^4(b-1) $.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$ \frac{b^4(b-1)}{b^5} $
Сократим числитель и знаменатель на $ b^4 $. Учитывая, что $ b^5 = b^4 \cdot b $, получим:
$ \frac{b^4(b-1)}{b^4 \cdot b} = \frac{b-1}{b} $
Сокращение возможно при условии, что $ b^4 \neq 0 $, то есть $ b \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{b-1}{b} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3} $, разложим на множители и числитель, и знаменатель.
В числителе $ m^4 - m^3 $ общий множитель $ m^3 $: $ m^4 - m^3 = m^3(m-1) $.
В знаменателе $ m^2 + m^3 $ общий множитель $ m^2 $: $ m^2 + m^3 = m^2(1+m) $.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{m^3(m-1)}{m^2(1+m)} $
Сократим дробь на общий множитель $ m^2 $. Учитывая, что $ m^3 = m \cdot m^2 $:
$ \frac{m \cdot m^2 (m-1)}{m^2(1+m)} = \frac{m(m-1)}{1+m} $
Сокращение возможно при условии, что $ m^2 \neq 0 $, то есть $ m \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{m(m-1)}{m+1} $

е) Рассмотрим дробь $ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2} $. Для ее сокращения разложим на множители знаменатель.
В знаменателе $ n^4 - n^3 - n^2 $ вынесем общий множитель $ n^2 $ за скобки:
$ n^4 - n^3 - n^2 = n^2(n^2 - n - 1) $
Теперь подставим это в дробь:
$ \frac{n^2 - n - 1}{n^2(n^2 - n - 1)} $
Видно, что выражение $ (n^2 - n - 1) $ является общим множителем для числителя и знаменателя. Сократим на него:
$ \frac{1 \cdot (n^2 - n - 1)}{n^2(n^2 - n - 1)} = \frac{1}{n^2} $
Сокращение возможно при условии, что $ n^2 - n - 1 \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{1}{n^2} $

28 а) $\frac{x^2 - 9y^2}{x + 3y}$;

б) $\frac{a + 2b}{a^2 + 4ab + 4b^2}$

В) $\frac{m^2 - n^2}{mn - n^2}$;

Г) $\frac{ax - ay}{x^2 - 2xy + y^2}$;

Д) $\frac{2ab - 6a}{b^2 - 6b + 9}$;

е) $\frac{5n^2 + 10n}{n^2 - 4}$.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2-9y^2}{x+3y}$, разложим числитель на множители. Числитель $x^2-9y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=x$ и $b=3y$.
$x^2-9y^2 = x^2-(3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}$.
Сократим общий множитель $(x+3y)$ в числителе и знаменателе. Получаем:
$x-3y$.
Ответ: $x-3y$

б) Рассмотрим дробь $\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}$. Знаменатель $a^2+4ab+4b^2$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$.
$a^2+4ab+4b^2 = a^2+2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{a+2b}{(a+2b)^2}$.
Сократим общий множитель $(a+2b)$. В числителе останется 1, а в знаменателе $(a+2b)$.
$\frac{1}{a+2b}$.
Ответ: $\frac{1}{a+2b}$

в) Упростим выражение $\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $m^2-n^2$ — это разность квадратов: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.
В знаменателе $mn-n^2$ вынесем общий множитель $n$ за скобки: $mn-n^2=n(m-n)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}$.
Сократим общий множитель $(m-n)$.
$\frac{m+n}{n}$.
Ответ: $\frac{m+n}{n}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $ax-ay$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(x-y)$.
Знаменатель $x^2-2xy+y^2$ — это полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$: $(x-y)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a(x-y)}{(x-y)^2}$.
Сократим общий множитель $(x-y)$.
$\frac{a}{x-y}$.
Ответ: $\frac{a}{x-y}$

д) Упростим выражение $\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $2ab-6a$ вынесем за скобки общий множитель $2a$: $2a(b-3)$.
Знаменатель $b^2-6b+9$ является полным квадратом разности: $b^2-2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = (b-3)^2$.
Перепишем дробь в новом виде:
$\frac{2a(b-3)}{(b-3)^2}$.
Сократим общий множитель $(b-3)$.
$\frac{2a}{b-3}$.
Ответ: $\frac{2a}{b-3}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{5n^2+10n}{n^2-4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $5n^2+10n$ вынесем за скобки общий множитель $5n$: $5n(n+2)$.
Знаменатель $n^2-4$ — это разность квадратов: $n^2-2^2 = (n-2)(n+2)$.
Запишем дробь с разложенными частями:
$\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}$.
Сократим общий множитель $(n+2)$.
$\frac{5n}{n-2}$.
Ответ: $\frac{5n}{n-2}$