Номер 21, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.2. Основное свойство дроби - номер 21, страница 12.

Условие.

21 Приведите дробь:

а) $\frac{a}{c}$ к знаменателю $2c; ac; -c; c^2; 3c^2;$

б) $\frac{x+y}{xy}$ к знаменателю $x^2y^2; xy^2; x^3y; 2xy; -xy;$

в) $\frac{m}{m-n}$ к знаменателю $m(m-n); m^2-n^2; m^2n-mn^2;$

г) $\frac{x-1}{x+1}$ к знаменателю $(x+1)^2; x^2-1; x^2+x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы привести дробь $ \frac{a}{c} $ к новому знаменателю, нужно найти дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на исходный ($c$), и умножить на него числитель и знаменатель исходной дроби.
- Для знаменателя $2c$, дополнительный множитель равен $ \frac{2c}{c} = 2 $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot 2}{c \cdot 2} = \frac{2a}{2c} $.
- Для знаменателя $ac$, дополнительный множитель равен $ \frac{ac}{c} = a $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot a}{c \cdot a} = \frac{a^2}{ac} $.
- Для знаменателя $-c$, дополнительный множитель равен $ \frac{-c}{c} = -1 $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot (-1)}{c \cdot (-1)} = \frac{-a}{-c} $.
- Для знаменателя $c^2$, дополнительный множитель равен $ \frac{c^2}{c} = c $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot c}{c \cdot c} = \frac{ac}{c^2} $.
- Для знаменателя $3c^2$, дополнительный множитель равен $ \frac{3c^2}{c} = 3c $. Получаем дробь: $ \frac{a \cdot 3c}{c \cdot 3c} = \frac{3ac}{3c^2} $.

Ответ: $ \frac{2a}{2c}; \frac{a^2}{ac}; \frac{-a}{-c}; \frac{ac}{c^2}; \frac{3ac}{3c^2} $.

б)

Приведем дробь $ \frac{x+y}{xy} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $xy$.
- Для знаменателя $x^2y^2$, дополнительный множитель $ \frac{x^2y^2}{xy} = xy $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot xy}{xy \cdot xy} = \frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2} $.
- Для знаменателя $xy^2$, дополнительный множитель $ \frac{xy^2}{xy} = y $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot y}{xy \cdot y} = \frac{xy+y^2}{xy^2} $.
- Для знаменателя $x^3y$, дополнительный множитель $ \frac{x^3y}{xy} = x^2 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot x^2}{xy \cdot x^2} = \frac{x^3+x^2y}{x^3y} $.
- Для знаменателя $2xy$, дополнительный множитель $ \frac{2xy}{xy} = 2 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot 2}{xy \cdot 2} = \frac{2x+2y}{2xy} $.
- Для знаменателя $-xy$, дополнительный множитель $ \frac{-xy}{xy} = -1 $. Получаем: $ \frac{(x+y) \cdot (-1)}{xy \cdot (-1)} = \frac{-x-y}{-xy} $.

Ответ: $ \frac{x^2y+xy^2}{x^2y^2}; \frac{xy+y^2}{xy^2}; \frac{x^3+x^2y}{x^3y}; \frac{2x+2y}{2xy}; \frac{-x-y}{-xy} $.

в)

Приведем дробь $ \frac{m}{m-n} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $m-n$.
- Для знаменателя $m(m-n)$, дополнительный множитель $ \frac{m(m-n)}{m-n} = m $. Получаем: $ \frac{m \cdot m}{(m-n) \cdot m} = \frac{m^2}{m(m-n)} $.
- Для знаменателя $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$, дополнительный множитель $m+n$. Получаем: $ \frac{m \cdot (m+n)}{(m-n) \cdot (m+n)} = \frac{m^2+mn}{m^2-n^2} $.
- Для знаменателя $m^2n-mn^2 = mn(m-n)$, дополнительный множитель $mn$. Получаем: $ \frac{m \cdot mn}{(m-n) \cdot mn} = \frac{m^2n}{m^2n-mn^2} $.

Ответ: $ \frac{m^2}{m(m-n)}; \frac{m^2+mn}{m^2-n^2}; \frac{m^2n}{m^2n-mn^2} $.

г)

Приведем дробь $ \frac{x-1}{x+1} $ к новым знаменателям. Исходный знаменатель $x+1$.
- Для знаменателя $(x+1)^2$, дополнительный множитель $x+1$. Получаем: $ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)} = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} $.
- Для знаменателя $x^2-1 = (x-1)(x+1)$, дополнительный множитель $x-1$. Получаем: $ \frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{x^2-1} $.
- Для знаменателя $x^2+x = x(x+1)$, дополнительный множитель $x$. Получаем: $ \frac{(x-1)x}{(x+1)x} = \frac{x^2-x}{x^2+x} $.

Ответ: $ \frac{x^2-1}{(x+1)^2}; \frac{(x-1)^2}{x^2-1}; \frac{x^2-x}{x^2+x} $.