Номер 27, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 27, страница 12.

Условие.

Сократите дробь (27—30).

a) $\frac{y^3}{y^3 + y^2}$;

б) $\frac{5a^2}{a^4 + a^2}$;

В) $\frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1}$;

Г) $\frac{b^5 - b^4}{b^5}$;

Д) $\frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3}$;

е) $\frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{y^3}{y^3 + y^2} $, необходимо разложить ее знаменатель на множители. Общий множитель в выражении $ y^3 + y^2 $ это $ y^2 $. Вынесем его за скобки: $ y^3 + y^2 = y^2(y+1) $.
Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:
$ \frac{y^3}{y^3 + y^2} = \frac{y^3}{y^2(y+1)} $
Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $ y^2 $. Поскольку $ y^3 = y \cdot y^2 $, получаем:
$ \frac{y \cdot y^2}{y^2(y+1)} = \frac{y}{y+1} $
Сокращение возможно при условии, что общий множитель не равен нулю, то есть $ y^2 \neq 0 $, откуда $ y \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{y}{y+1} $

б) Рассмотрим дробь $ \frac{5a^2}{a^4 + a^2} $. Для ее сокращения разложим на множители знаменатель. Общим множителем для слагаемых $ a^4 $ и $ a^2 $ является $ a^2 $. Вынесем его за скобки: $ a^4 + a^2 = a^2(a^2+1) $.
Подставим полученное выражение в знаменатель дроби:
$ \frac{5a^2}{a^2(a^2+1)} $
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ a^2 $:
$ \frac{5}{a^2+1} $
Сокращение возможно при условии, что $ a^2 \neq 0 $, то есть $ a \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{5}{a^2+1} $

в) Чтобы сократить дробь $ \frac{x^5 + x^3}{x^2 + 1} $, разложим на множители числитель. Общий множитель для $ x^5 $ и $ x^3 $ это $ x^3 $. Вынесем его за скобки: $ x^5 + x^3 = x^3(x^2+1) $.
Подставим это выражение в числитель дроби:
$ \frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} $
Сократим дробь на общий множитель $ (x^2+1) $.
$ \frac{x^3(x^2+1)}{x^2+1} = x^3 $
Знаменатель $ x^2+1 $ никогда не равен нулю для действительных значений $ x $, поэтому сокращение возможно всегда.
Ответ: $ x^3 $

г) Рассмотрим дробь $ \frac{b^5 - b^4}{b^5} $. Разложим числитель на множители. Общий множитель для $ b^5 $ и $ b^4 $ это $ b^4 $. Вынесем его за скобки: $ b^5 - b^4 = b^4(b-1) $.
Подставим полученное выражение в числитель дроби:
$ \frac{b^4(b-1)}{b^5} $
Сократим числитель и знаменатель на $ b^4 $. Учитывая, что $ b^5 = b^4 \cdot b $, получим:
$ \frac{b^4(b-1)}{b^4 \cdot b} = \frac{b-1}{b} $
Сокращение возможно при условии, что $ b^4 \neq 0 $, то есть $ b \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{b-1}{b} $

д) Чтобы сократить дробь $ \frac{m^4 - m^3}{m^2 + m^3} $, разложим на множители и числитель, и знаменатель.
В числителе $ m^4 - m^3 $ общий множитель $ m^3 $: $ m^4 - m^3 = m^3(m-1) $.
В знаменателе $ m^2 + m^3 $ общий множитель $ m^2 $: $ m^2 + m^3 = m^2(1+m) $.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{m^3(m-1)}{m^2(1+m)} $
Сократим дробь на общий множитель $ m^2 $. Учитывая, что $ m^3 = m \cdot m^2 $:
$ \frac{m \cdot m^2 (m-1)}{m^2(1+m)} = \frac{m(m-1)}{1+m} $
Сокращение возможно при условии, что $ m^2 \neq 0 $, то есть $ m \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{m(m-1)}{m+1} $

е) Рассмотрим дробь $ \frac{n^2 - n - 1}{n^4 - n^3 - n^2} $. Для ее сокращения разложим на множители знаменатель.
В знаменателе $ n^4 - n^3 - n^2 $ вынесем общий множитель $ n^2 $ за скобки:
$ n^4 - n^3 - n^2 = n^2(n^2 - n - 1) $
Теперь подставим это в дробь:
$ \frac{n^2 - n - 1}{n^2(n^2 - n - 1)} $
Видно, что выражение $ (n^2 - n - 1) $ является общим множителем для числителя и знаменателя. Сократим на него:
$ \frac{1 \cdot (n^2 - n - 1)}{n^2(n^2 - n - 1)} = \frac{1}{n^2} $
Сокращение возможно при условии, что $ n^2 - n - 1 \neq 0 $.
Ответ: $ \frac{1}{n^2} $