Номер 31, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.2. Основное свойство дроби - номер 31, страница 13.

Условие.

31 Восстановите запись:

a) $\frac{m}{n} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-m}{-n} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{-n}$;

б) $\frac{a}{a - b} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-a}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-a}{b - a}$;

В) $\frac{x - z}{x - y} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{x - z}{y - x} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{x - y}$;

Г) $\frac{p - c}{p + c} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{p - c}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{-p - c}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим исходное равенство: $ \frac{m}{n} = \frac{...}{-n} = -\frac{-m}{...} = -\frac{...}{-n} $.
Основное свойство дроби гласит, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знак числителя и знаменателя. Также верно, что $ \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B} $.
1. Чтобы равенство $ \frac{m}{n} = \frac{...}{-n} $ было верным, при смене знака знаменателя (с $ n $ на $ -n $) необходимо сменить и знак числителя (с $ m $ на $ -m $). Таким образом, в первом пропуске будет $ -m $. Получаем: $ \frac{m}{n} = \frac{-m}{-n} $.
2. Рассмотрим равенство $ \frac{m}{n} = -\frac{-m}{...} $. Знак "минус" перед дробью и "минус" в числителе взаимно уничтожаются: $ -\frac{-m}{...} = \frac{m}{...} $. Следовательно, $ \frac{m}{n} = \frac{m}{...} $. Чтобы равенство выполнялось, знаменатели должны быть равны. Значит, во втором пропуске стоит $ n $. Получаем: $ \frac{m}{n} = -\frac{-m}{n} $.
3. Рассмотрим равенство $ \frac{m}{n} = -\frac{...}{-n} $. Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе взаимно уничтожаются: $ -\frac{...}{-n} = \frac{...}{n} $. Следовательно, $ \frac{m}{n} = \frac{...}{n} $. Чтобы равенство выполнялось, числители должны быть равны. Значит, в третьем пропуске стоит $ m $. Получаем: $ \frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} $.

Ответ: $ \frac{m}{n} = \frac{-m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n} $

б)

Рассмотрим равенство: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...} = -\frac{-a}{...} = -\frac{...}{b-a} $.
1. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...} $ числитель изменил знак (с $ a $ на $ -a $). Чтобы сохранить значение дроби, нужно изменить знак и у знаменателя: $ -(a-b) = -a+b = b-a $. В первом пропуске будет $ b-a $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a} $.
2. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{...} $ знаки "минус" перед дробью и в числителе взаимно уничтожаются, то есть $ -\frac{-a}{...} = \frac{a}{...} $. Значит, $ \frac{a}{a-b} = \frac{a}{...} $. Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели. Во втором пропуске будет $ a-b $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{a-b} $.
3. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = -\frac{...}{b-a} $ обратим внимание на знаменатель $ b-a = -(a-b) $. Тогда $ -\frac{...}{b-a} = -\frac{...}{-(a-b)} = \frac{...}{a-b} $. Значит, $ \frac{a}{a-b} = \frac{...}{a-b} $. Так как знаменатели равны, должны быть равны и числители. В третьем пропуске будет $ a $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = -\frac{a}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a} = -\frac{-a}{a-b} = -\frac{a}{b-a} $

в)

Рассмотрим равенство: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x} = -\frac{x-z}{...} = -\frac{...}{x-y} $.
1. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x} $ знаменатель изменил знак, так как $ y-x = -(x-y) $. Следовательно, числитель также должен изменить знак: $ -(x-z) = z-x $. В первом пропуске будет $ z-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x} $.
2. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{...} $ знак "минус" стоит перед дробью. Чтобы равенство было верным, знак можно "перенести" в знаменатель. То есть, $ -\frac{x-z}{...} $ должно быть равно $ \frac{x-z}{-(...)} $. Сравнивая с исходной дробью, видим, что числители $ x-z $ совпадают. Значит, должны совпадать и знаменатели: $ x-y = -(...) $. Отсюда следует, что в пропуске должно стоять $ -(x-y) = y-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{y-x} $.
3. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{...}{x-y} $ знак "минус" стоит перед дробью. Чтобы равенство было верным, знак можно "перенести" в числитель. То есть, $ -\frac{...}{x-y} $ должно быть равно $ \frac{-(...)}{x-y} $. Сравнивая с исходной дробью, видим, что знаменатели $ x-y $ совпадают. Значит, должны совпадать и числители: $ x-z = -(...) $. Отсюда следует, что в пропуске должно стоять $ -(x-z) = z-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{z-x}{x-y} $.

Ответ: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x} = -\frac{x-z}{y-x} = -\frac{z-x}{x-y} $

г)

Рассмотрим равенство: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c} = -\frac{p-c}{...} = \frac{...}{-p-c} $.
1. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c} $ знак "минус" стоит перед дробью, а знаменатели одинаковы. Значит, "минус" относится к числителю: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{-(...)}{p+c} $. Следовательно, $ p-c = -(...) $, и в пропуске должно стоять $ -(p-c) = c-p $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c} $.
2. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{...} $ знак "минус" стоит перед дробью, а числители одинаковы. Значит, "минус" относится к знаменателю: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{p-c}{-(...)} $. Следовательно, $ p+c = -(...) $, и в пропуске должно стоять $ -(p+c) = -p-c $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c} $.
3. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{...}{-p-c} $ знаменатель изменил знак, так как $ -p-c = -(p+c) $. Чтобы дробь осталась равной исходной, нужно изменить знак и у числителя: $ -(p-c) = c-p $. В пропуске будет $ c-p $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{c-p}{-p-c} $.

Ответ: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c} = \frac{c-p}{-p-c} $