Номер 35, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 35, страница 13.

Условие.

Б

35.

a) Применяем алгебру

В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?

Рис. 1.3

(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара; $V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания цилиндра и $h$ — его высота.)

Указание. Выразите высоту $h$ через радиус $r$.

b) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что $\pi \approx 3$.

Рис. 1.4

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Пусть $r$ — это радиус одного теннисного мяча. Так как мячи касаются стенок цилиндрического футляра, радиус основания футляра также равен $r$.

В футляр уложены 3 мяча, они касаются друг друга, а также верхней и нижней крышек футляра. Это означает, что высота футляра $h$ равна сумме диаметров трех мячей. Диаметр одного мяча составляет $2r$. Следовательно, высота футляра: $h = 3 \times 2r = 6r$.

Объем одного теннисного мяча (шара) вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Общий объем трех мячей равен: $V_{3 \text{ шара}} = 3 \times V_{шара} = 3 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3$.

Объем футляра (цилиндра) вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2h$. Подставим в нее значения радиуса основания ($r$) и высоты ($h=6r$): $V_{цилиндра} = \pi r^2 (6r) = 6\pi r^3$.

Чтобы найти, какую часть объема футляра занимают мячи, необходимо найти отношение общего объема мячей к объему футляра: $\frac{V_{3 \text{ шара}}}{V_{цилиндра}} = \frac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.

б) Пусть $r$ — радиус основания одной консервной банки (которая имеет форму цилиндра), а $h$ — ее высота.

В коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, уложены 3 банки в один ряд. Они касаются друг друга и всех стенок коробки. Определим размеры коробки через $r$ и $h$.

• Высота коробки равна высоте банки, то есть $h$.
• Ширина коробки равна диаметру основания банки, то есть $2r$.
• Длина коробки равна сумме диаметров трех банок, то есть $3 \times 2r = 6r$.

Объем одной банки (цилиндра) равен $V_{банки} = \pi r^2h$. Общий объем трех банок составляет: $V_{3 \text{ банки}} = 3 \times V_{банки} = 3\pi r^2h$.

Объем коробки (прямоугольного параллелепипеда) равен произведению ее длины, ширины и высоты: $V_{коробки} = (6r) \times (2r) \times h = 12r^2h$.

Чтобы найти, какую часть объема коробки занимают банки, найдем отношение общего объема банок к объему коробки: $\frac{V_{3 \text{ банки}}}{V_{коробки}} = \frac{3\pi r^2h}{12r^2h} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

Согласно условию, необходимо считать, что $\pi \approx 3$. Подставим это значение в полученное выражение: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4}$.

Ответ: банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.