Номер 42, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 42, страница 15.

Условие.

42 а) $\frac{a(x-y)-b(y-x)}{(a-b)(y-x)};$

б) $\frac{(1-n)(n-2)}{2(n-1)-n(n-1)};$

В) $\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{(a-p)(b-p)(c-p)};$

Г) $\frac{(a+b-c)(a-b)}{(c-a-b)(a-c)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Преобразуем выражение, используя свойство $y - x = -(x - y)$.
В числителе: $a(x - y) - b(y - x) = a(x - y) - b(-(x - y)) = a(x - y) + b(x - y)$. Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки: $(a + b)(x - y)$.
В знаменателе: $(a - b)(y - x)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b)(x - y)}{(a - b)(y - x)}$.
Теперь заменим в знаменателе $y - x$ на $-(x - y)$: $\frac{(a + b)(x - y)}{(a - b)(-(x - y))} = \frac{(a + b)(x - y)}{-(a - b)(x - y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ (при условии $x \neq y$): $\frac{a + b}{-(a - b)}$.
Раскроем скобки в знаменателе: $-(a - b) = -a + b = b - a$.
В результате получаем: $\frac{a + b}{b - a}$.
Ответ: $\frac{a + b}{b - a}$

б) В знаменателе дроби $\frac{(1 - n)(n - 2)}{2(n - 1) - n(n - 1)}$ вынесем общий множитель $(n - 1)$ за скобки: $2(n - 1) - n(n - 1) = (2 - n)(n - 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(1 - n)(n - 2)}{(2 - n)(n - 1)}$.
Преобразуем множители в числителе, вынеся за скобки -1: $1 - n = -(n - 1)$ и $n - 2 = -(2 - n)$.
Числитель становится: $(-(n - 1)) \cdot (-(2 - n)) = (n - 1)(2 - n)$.
Теперь вся дробь выглядит так: $\frac{(n - 1)(2 - n)}{(2 - n)(n - 1)}$.
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (при $n \neq 1$ и $n \neq 2$), получаем 1.
Ответ: $1$

в) Рассмотрим выражение $\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{(a - p)(b - p)(c - p)}$.
Для каждого множителя в числителе вынесем -1 за скобки:
$p - a = -(a - p)$
$p - b = -(b - p)$
$p - c = -(c - p)$
Тогда числитель преобразуется в: $(-(a - p)) \cdot (-(b - p)) \cdot (-(c - p)) = (-1)^3 (a - p)(b - p)(c - p) = -(a - p)(b - p)(c - p)$.
Дробь принимает вид: $\frac{-(a - p)(b - p)(c - p)}{(a - p)(b - p)(c - p)}$.
Сокращаем дробь на общие множители $(a - p)(b - p)(c - p)$ (при условии, что $p \neq a, p \neq b, p \neq c$), в результате чего остается -1.
Ответ: $-1$

г) Рассмотрим выражение $\frac{(a + b - c)(a - b)}{(c - a - b)(a - c)}$.
Преобразуем множитель $(c - a - b)$ в знаменателе, вынеся -1 за скобки: $c - a - b = -( -c + a + b) = -(a + b - c)$.
Подставим преобразованный множитель обратно в знаменатель: $-(a + b - c)(a - c)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b - c)(a - b)}{-(a + b - c)(a - c)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a + b - c)$ (при условии $a + b - c \neq 0$): $\frac{a - b}{-(a - c)}$.
Внесем минус в знаменатель, поменяв знаки у слагаемых: $\frac{a - b}{c - a}$.
Ответ: $\frac{a - b}{c - a}$