Номер 43, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 43, страница 15.

Условие.

43 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Учащиеся выполняли задания на сокращение дробей. Ниже показано, как начали преобразования Андрей (А) и Борис (Б). Правильно ли сделал первые шаги каждый из учащихся? Если нет, то исправьте ошибку. Доведите каждое решение до конца.

А) $\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{2(a - b)^2}{8(b - a)} = ...$

Б) $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2} = \frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2} = - \frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2} = ...$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

А)

Андрей допустил ошибку в первом же шаге. При вынесении общего множителя из скобки, которая возводится в квадрат, необходимо возвести в квадрат и этот множитель.

Правильное преобразование числителя: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 2^2(a - b)^2 = 4(a - b)^2$. Андрей же получил $2(a - b)^2$, забыв возвести 2 в квадрат.

Исправим ошибку и доведем решение до конца:

$\frac{(2a - 2b)^2}{8b - 8a} = \frac{4(a - b)^2}{8(b - a)}$

В знаменателе вынесем -1 за скобки, чтобы получить такое же выражение, как и в числителе: $8(b - a) = -8(a - b)$.

$\frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $4(a - b)$:

$\frac{4(a - b)^2}{-8(a - b)} = \frac{a - b}{-2} = -\frac{a - b}{2} = \frac{b - a}{2}$

Ответ: Андрей ошибся. Правильное решение: $\frac{b - a}{2}$.

Б)

Борис выполнил первые шаги правильно. Разберем его преобразования:

1. Исходная дробь: $\frac{4m^2 - 4n^2}{(4n - 4m)^2}$.

2. Он вынес общие множители:

В числителе: $4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$. Это верно.

В знаменателе: $(4n - 4m)^2 = (4(n - m))^2 = 4^2(n - m)^2 = 16(n - m)^2$. Это тоже верно.

Получилась дробь: $\frac{4(m^2 - n^2)}{16(n - m)^2}$.

3. Далее он раскладывает числитель по формуле разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$ и сокращает числовой коэффициент $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Также он использует свойство, что $(n - m)^2 = (m - n)^2$. Все эти преобразования верны.

$\frac{4(m - n)(m + n)}{16(m - n)^2} = \frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2}$

Доведем решение до конца, сократив дробь на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{(m - n)(m + n)}{4(m - n)^2} = \frac{m + n}{4(m - n)}$

Ответ: Борис сделал первые шаги правильно. Окончательный результат: $\frac{m + n}{4(m - n)}$.