Номер 37, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 37, страница 14.

Условие.

37 а) $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2};$

Б) $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2};$

В) $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3};$

Г) $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2};$

Д) $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2};$

е) $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4}.$

Подсказка. Могут потребоваться формулы

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Для числителя используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\sout{(x - y)}(x + y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2}$, разложим числитель по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)^2}$

Сократим общий множитель $(x - y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)^{\sout{2}}1} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3}$, разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3} = \frac{(x + y)^2}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x + y)$:

$\frac{(x + y)^{\sout{2}}1}{\sout{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

Ответ: $\frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2}$, разложим числитель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 - x^2y + xy^2 = x(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x + y)\sout{(x^2 - xy + y^2)}}{x\sout{(x^2 - xy + y^2)}} = \frac{x + y}{x}$

Ответ: $\frac{x + y}{x}$

д) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2}$, разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2(x + y)^2}$

Сократим общие множители $(x - y)$ и $(x + y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}}{\sout{(x - y)^2}(x-y)} \cdot \frac{\sout{(x + y)}}{\sout{(x + y)^2}(x+y)} = \frac{1}{(x-y)(x+y)}$

Знаменатель можно записать в свернутом виде как разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $\frac{1}{x^2 - y^2}$

е) Чтобы упростить дробь $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4}$, преобразуем числитель и знаменатель. В числителе сгруппируем множители: $(x - y)^2(x + y)^2 = ((x - y)(x + y))^2 = (x^2 - y^2)^2$. Знаменатель $x^4 - y^4$ разложим как разность квадратов: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(x^2 - y^2)^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{(x^2 - y^2)^{\sout{2}}1}{\sout{(x^2 - y^2)}(x^2 + y^2)} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$