Номер 38, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 38, страница 14.

Условие.

38 Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

а) $\frac{ax - ay}{ax + bx - ay - by}$;

б) $\frac{mn - pq + mq - pn}{pq + pn}$;

В) $\frac{ab + 1 + a + b}{ab + a}$;

Г) $\frac{ax + ay - x^2 - xy}{ab + ac - bx - cx}$;

Д) $\frac{x^2 + 2xy + y^2 - z^2}{x + y + z}$;

Е) $\frac{a^2 + b^2 - 2ab - c^2}{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{ax - ay}{ax + bx - ay - by}$

Разложим на множители числитель. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax - ay = a(x - y)$

Разложим на множители знаменатель. Для этого сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (x - y)(a + b)$

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим её на общий множитель $(x - y)$:

$\frac{a(x - y)}{(a + b)(x - y)} = \frac{a}{a + b}$

Ответ: $\frac{a}{a + b}$

б) $\frac{mn - pq + mq - pn}{pq + pn}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$mn - pq + mq - pn = (mn + mq) - (pq + pn) = m(n + q) - p(q + n) = (m - p)(n + q)$

Разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$pq + pn = p(q + n)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(n + q)$:

$\frac{(m - p)(n + q)}{p(n + q)} = \frac{m - p}{p}$

Ответ: $\frac{m - p}{p}$

в) $\frac{ab + 1 + a + b}{ab + a}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ab + 1 + a + b = (ab + a) + (b + 1) = a(b + 1) + 1(b + 1) = (a + 1)(b + 1)$

Разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ab + a = a(b + 1)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(b + 1)$:

$\frac{(a + 1)(b + 1)}{a(b + 1)} = \frac{a + 1}{a}$

Ответ: $\frac{a + 1}{a}$

г) $\frac{ax + ay - x^2 - xy}{ab + ac - bx - cx}$

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:

$ax + ay - x^2 - xy = (ax + ay) - (x^2 + xy) = a(x + y) - x(x + y) = (a - x)(x + y)$

Разложим на множители знаменатель, также используя метод группировки:

$ab + ac - bx - cx = (ab + ac) - (bx + cx) = a(b + c) - x(b + c) = (a - x)(b + c)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(a - x)$:

$\frac{(a - x)(x + y)}{(a - x)(b + c)} = \frac{x + y}{b + c}$

Ответ: $\frac{x + y}{b + c}$

д) $\frac{x^2 + 2xy + y^2 - z^2}{x + y + z}$

Разложим на множители числитель. Первые три слагаемых образуют формулу сокращенного умножения - квадрат суммы $(x+y)^2$. Затем применим формулу разности квадратов:

$x^2 + 2xy + y^2 - z^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = (x + y)^2 - z^2 = (x + y - z)(x + y + z)$

Знаменатель $x + y + z$ уже является простым множителем.

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{(x + y - z)(x + y + z)}{x + y + z} = x + y - z$

Ответ: $x + y - z$

е) $\frac{a^2 + b^2 - 2ab - c^2}{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить квадрат разности, а затем применим формулу разности квадратов:

$a^2 + b^2 - 2ab - c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c)$

Разложим на множители знаменатель. Перегруппируем слагаемые, вынесем минус за скобку, чтобы выделить квадрат суммы, а затем применим формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b + c)^2 = (a - (b + c))(a + (b + c)) = (a - b - c)(a + b + c)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(a - b - c)$:

$\frac{(a - b - c)(a - b + c)}{(a - b - c)(a + b + c)} = \frac{a - b + c}{a + b + c}$

Ответ: $\frac{a - b + c}{a + b + c}$