Номер 41, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 41, страница 15.

Условие.

41 a) $ \frac{y^2 - y}{1 - y^2} $;

Б) $ \frac{a^2 - 4}{2a - a^2} $;

В) $ \frac{3x - 3c}{ac - ax} $;

Г) $ \frac{5a^2 - 10ab}{2b^2 - ab} $;

Д) $ \frac{m^2 - n^2}{(n - m)^2} $;

е) $ \frac{z^2 - 3z}{9 - 6z + z^2} $;

Ж) $ \frac{x^3 - x}{x - x^2} $;

З) $ \frac{a^2x - ax^2}{x^2 - ax} $;

И) $ \frac{p^2 - 2pn + n^2}{n^2 - pn} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{y^2 - y}{1 - y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y^2 - y = y(y - 1)$.

Знаменатель является разностью квадратов $1^2 - y^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$.

Получаем дробь: $\frac{y(y - 1)}{(1 - y)(1 + y)}$.

Заметим, что множители $(y - 1)$ и $(1 - y)$ являются противоположными, то есть $y - 1 = -(1 - y)$. Заменим $(y-1)$ на $-(1-y)$ в числителе:

$\frac{-y(1 - y)}{(1 - y)(1 + y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(1 - y)$:

$\frac{-y}{1 + y} = -\frac{y}{1 + y}$

Ответ: $-\frac{y}{y + 1}$

б)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 4}{2a - a^2}$.

Числитель $a^2 - 4$ — это разность квадратов: $a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$.

В знаменателе $2a - a^2$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(2 - a)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(a - 2)(a + 2)}{a(2 - a)}$.

Множители $(a - 2)$ и $(2 - a)$ противоположны: $a - 2 = -(2 - a)$. Выполним замену в числителе:

$\frac{-(2 - a)(a + 2)}{a(2 - a)}$

Сокращаем на общий множитель $(2 - a)$:

$\frac{-(a + 2)}{a} = -\frac{a + 2}{a}$

Ответ: $-\frac{a + 2}{a}$

в)

Сократим дробь $\frac{3x - 3c}{ac - ax}$.

В числителе выносим за скобки общий множитель 3: $3(x - c)$.

В знаменателе выносим за скобки общий множитель $a$: $a(c - x)$.

Получаем: $\frac{3(x - c)}{a(c - x)}$.

Так как $x - c = -(c - x)$, подставим это в дробь:

$\frac{3(-(c - x))}{a(c - x)} = \frac{-3(c - x)}{a(c - x)}$

Сокращаем на $(c - x)$:

$-\frac{3}{a}$

Ответ: $-\frac{3}{a}$

г)

Сократим дробь $\frac{5a^2 - 10ab}{2b^2 - ab}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $5a$: $5a(a - 2b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(2b - a)$.

Дробь примет вид: $\frac{5a(a - 2b)}{b(2b - a)}$.

Используем то, что $a - 2b = -(2b - a)$:

$\frac{5a(-(2b - a))}{b(2b - a)} = \frac{-5a(2b - a)}{b(2b - a)}$

Сокращаем на $(2b - a)$:

$-\frac{5a}{b}$

Ответ: $-\frac{5a}{b}$

д)

Сократим дробь $\frac{m^2 - n^2}{(n - m)^2}$.

Числитель $m^2 - n^2$ — это разность квадратов: $(m - n)(m + n)$.

Знаменатель $(n - m)^2$ можно представить как $(-(m - n))^2 = (m - n)^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{(m - n)(m + n)}{(m - n)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(m - n)$:

$\frac{m + n}{m - n}$

Ответ: $\frac{m + n}{m - n}$

е)

Сократим дробь $\frac{z^2 - 3z}{9 - 6z + z^2}$.

В числителе вынесем общий множитель $z$: $z(z - 3)$.

Знаменатель $9 - 6z + z^2$ — это квадрат разности: $z^2 - 2 \cdot z \cdot 3 + 3^2 = (z - 3)^2$.

Получаем дробь: $\frac{z(z - 3)}{(z - 3)^2}$.

Сокращаем на общий множитель $(z - 3)$:

$\frac{z}{z - 3}$

Ответ: $\frac{z}{z - 3}$

ж)

Сократим дробь $\frac{x^3 - x}{x - x^2}$.

В числителе вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 1)$. Затем разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов: $x(x - 1)(x + 1)$.

В знаменателе вынесем $x$ за скобки: $x(1 - x)$.

Дробь примет вид: $\frac{x(x - 1)(x + 1)}{x(1 - x)}$.

Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{(x - 1)(x + 1)}{1 - x}$.

Используя $x - 1 = -(1 - x)$, получаем:

$\frac{-(1 - x)(x + 1)}{1 - x} = -(x + 1)$

Ответ: $-(x + 1)$

з)

Сократим дробь $\frac{a^2x - ax^2}{x^2 - ax}$.

В числителе вынесем общий множитель $ax$: $ax(a - x)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $x$: $x(x - a)$.

Получим дробь: $\frac{ax(a - x)}{x(x - a)}$.

Сократим на $x$ (при $x \neq 0$): $\frac{a(a - x)}{x - a}$.

Так как $a - x = -(x - a)$, то:

$\frac{a(-(x - a))}{x - a} = -a$

Ответ: $-a$

и)

Сократим дробь $\frac{p^2 - 2pn + n^2}{n^2 - pn}$.

Числитель $p^2 - 2pn + n^2$ — это квадрат разности: $(p - n)^2$.

В знаменателе вынесем общий множитель $n$: $n(n - p)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(p - n)^2}{n(n - p)}$.

Используем свойство $(p - n)^2 = (-(n - p))^2 = (n - p)^2$:

$\frac{(n - p)^2}{n(n - p)}$

Сокращаем на общий множитель $(n - p)$:

$\frac{n - p}{n}$

Ответ: $\frac{n - p}{n}$