Номер 48, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 48, страница 18.

Условие.

48 Приведите дроби к общему знаменателю:

а) $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{5} $;

б) $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{9} $;

в) $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $;

г) $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{3a} $;

д) $ \frac{c}{ab} $ и $ \frac{a}{bc} $;

е) $ \frac{1}{x^2y} $ и $ \frac{1}{xy^2} $;

ж) $ \frac{c}{a^2} $, $ \frac{1}{b^2} $, $ \frac{c^2}{ab} $;

з) $ \frac{c-x}{c+x} $ И $ \frac{cx}{c-x} $;

и) $ \frac{a-b}{a^2+ab} $ И $ \frac{a^2+b}{b^2+ab} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Даны дроби $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{1}{5} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 8 и 5.
Так как числа 8 и 5 являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равно их произведению.
Общий знаменатель: $ НОК(8, 5) = 8 \times 5 = 40 $.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $ 40 \div 8 = 5 $. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:
$ \frac{1}{8} = \frac{1 \times 5}{8 \times 5} = \frac{5}{40} $.
Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $ 40 \div 5 = 8 $. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 8:
$ \frac{1}{5} = \frac{1 \times 8}{5 \times 8} = \frac{8}{40} $.
Ответ: $ \frac{5}{40} $ и $ \frac{8}{40} $.

б)

Даны дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{1}{9} $.
Найдем НОК знаменателей 6 и 9. Разложим их на простые множители:
$ 6 = 2 \times 3 $
$ 9 = 3^2 $
НОК(6, 9) равно произведению всех простых множителей в их наивысших степенях: $ 2 \times 3^2 = 18 $.
Общий знаменатель равен 18.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 18 \div 6 = 3 $.
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 3}{6 \times 3} = \frac{3}{18} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ 18 \div 9 = 2 $.
$ \frac{1}{9} = \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{2}{18} $.
Ответ: $ \frac{3}{18} $ и $ \frac{2}{18} $.

в)

Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{b} $.
Знаменатели $ a $ и $ b $ являются разными переменными. Их наименьшим общим кратным будет их произведение.
Общий знаменатель: $ ab $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab}{a} = b $.
$ \frac{1}{a} = \frac{1 \times b}{a \times b} = \frac{b}{ab} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab}{b} = a $.
$ \frac{1}{b} = \frac{1 \times a}{b \times a} = \frac{a}{ab} $.
Ответ: $ \frac{b}{ab} $ и $ \frac{a}{ab} $.

г)

Даны дроби $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{1}{3a} $.
Найдем НОК знаменателей $ a $ и $ 3a $.
$ НОК(a, 3a) = 3a $.
Общий знаменатель равен $ 3a $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{3a}{a} = 3 $.
$ \frac{1}{a} = \frac{1 \times 3}{a \times 3} = \frac{3}{3a} $.
Вторая дробь $ \frac{1}{3a} $ уже имеет общий знаменатель.
Ответ: $ \frac{3}{3a} $ и $ \frac{1}{3a} $.

д)

Даны дроби $ \frac{c}{ab} $ и $ \frac{a}{bc} $.
Найдем НОК знаменателей $ ab $ и $ bc $.
$ НОК(ab, bc) = abc $.
Общий знаменатель равен $ abc $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{abc}{ab} = c $.
$ \frac{c}{ab} = \frac{c \times c}{ab \times c} = \frac{c^2}{abc} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{abc}{bc} = a $.
$ \frac{a}{bc} = \frac{a \times a}{bc \times a} = \frac{a^2}{abc} $.
Ответ: $ \frac{c^2}{abc} $ и $ \frac{a^2}{abc} $.

е)

Даны дроби $ \frac{1}{x^2y} $ и $ \frac{1}{xy^2} $.
Найдем НОК знаменателей $ x^2y $ и $ xy^2 $. Для этого берем каждую переменную в наивысшей степени, в которой она встречается в знаменателях.
Общий знаменатель: $ x^2y^2 $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{x^2y^2}{x^2y} = y $.
$ \frac{1}{x^2y} = \frac{1 \times y}{x^2y \times y} = \frac{y}{x^2y^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{x^2y^2}{xy^2} = x $.
$ \frac{1}{xy^2} = \frac{1 \times x}{xy^2 \times x} = \frac{x}{x^2y^2} $.
Ответ: $ \frac{y}{x^2y^2} $ и $ \frac{x}{x^2y^2} $.

ж)

Даны дроби $ \frac{c}{a^2} $, $ \frac{1}{b^2} $ и $ \frac{c^2}{ab} $.
Найдем НОК знаменателей $ a^2 $, $ b^2 $ и $ ab $. Берем каждую переменную в наивысшей степени.
Общий знаменатель: $ a^2b^2 $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{a^2b^2}{a^2} = b^2 $.
$ \frac{c}{a^2} = \frac{c \times b^2}{a^2 \times b^2} = \frac{cb^2}{a^2b^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{a^2b^2}{b^2} = a^2 $.
$ \frac{1}{b^2} = \frac{1 \times a^2}{b^2 \times a^2} = \frac{a^2}{a^2b^2} $.
Дополнительный множитель для третьей дроби: $ \frac{a^2b^2}{ab} = ab $.
$ \frac{c^2}{ab} = \frac{c^2 \times ab}{ab \times ab} = \frac{abc^2}{a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{cb^2}{a^2b^2} $, $ \frac{a^2}{a^2b^2} $ и $ \frac{abc^2}{a^2b^2} $.

з)

Даны дроби $ \frac{c-x}{c+x} $ и $ \frac{cx}{c-x} $.
Знаменатели $ (c+x) $ и $ (c-x) $ являются различными выражениями. Их НОК равно их произведению.
Общий знаменатель: $ (c+x)(c-x) = c^2 - x^2 $ (по формуле разности квадратов).
Дополнительный множитель для первой дроби: $ (c-x) $.
$ \frac{c-x}{c+x} = \frac{(c-x)(c-x)}{(c+x)(c-x)} = \frac{(c-x)^2}{c^2-x^2} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ (c+x) $.
$ \frac{cx}{c-x} = \frac{cx(c+x)}{(c-x)(c+x)} = \frac{c^2x+cx^2}{c^2-x^2} $.
Ответ: $ \frac{(c-x)^2}{c^2-x^2} $ и $ \frac{c^2x+cx^2}{c^2-x^2} $.

и)

Даны дроби $ \frac{a-b}{a^2+ab} $ и $ \frac{a^2+b}{b^2+ab} $.
Сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $ a^2+ab = a(a+b) $.
Знаменатель второй дроби: $ b^2+ab = b(b+a) = b(a+b) $.
Найдем НОК выражений $ a(a+b) $ и $ b(a+b) $. Общим множителем является $ (a+b) $, а уникальными множителями являются $ a $ и $ b $.
Общий знаменатель: $ ab(a+b) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{ab(a+b)}{a(a+b)} = b $.
$ \frac{a-b}{a(a+b)} = \frac{(a-b)b}{a(a+b)b} = \frac{ab-b^2}{ab(a+b)} $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{ab(a+b)}{b(a+b)} = a $.
$ \frac{a^2+b}{b(a+b)} = \frac{(a^2+b)a}{b(a+b)a} = \frac{a^3+ab}{ab(a+b)} $.
Ответ: $ \frac{ab-b^2}{ab(a+b)} $ и $ \frac{a^3+ab}{ab(a+b)} $.