Номер 51, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 51, страница 19.

Условие.

51 Найдите сумму и разность дробей:

a) $ \frac{1}{a-b} $ и $ \frac{1}{a+b} $;

б) $ \frac{a+1}{a-1} $ и $ \frac{a-1}{a+1} $;

В) $ \frac{p-q}{p+q} $ и $ \frac{p+q}{p-q} $;

Г) $ \frac{m}{m+4} $ и $ \frac{m}{m-4} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{a+b}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для $(a-b)$ и $(a+b)$ — это их произведение $(a-b)(a+b)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2-b^2$.

Сумма:

$\frac{1}{a-b} + \frac{1}{a+b} = \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a+b}{a^2-b^2} + \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)+(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a+b+a-b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2}$.

Разность:

$\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{a+b}{a^2-b^2} - \frac{a-b}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)-(a-b)}{a^2-b^2} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}$.

Ответ: сумма $\frac{2a}{a^2-b^2}$, разность $\frac{2b}{a^2-b^2}$.

б)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{a+1}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+1}$ приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2-1$.

Сумма:

$\frac{a+1}{a-1} + \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2}{a^2-1} + \frac{(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{2a^2+2}{a^2-1} = \frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$.

Разность:

$\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1} = \frac{(a+1)^2}{a^2-1} - \frac{(a-1)^2}{a^2-1} = \frac{(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)}{a^2-1} = \frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1} = \frac{4a}{a^2-1}$.

Ответ: сумма $\frac{2(a^2+1)}{a^2-1}$, разность $\frac{4a}{a^2-1}$.

в)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{p-q}{p+q}$ и $\frac{p+q}{p-q}$ приведем их к общему знаменателю $(p+q)(p-q) = p^2-q^2$.

Сумма:

$\frac{p-q}{p+q} + \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)(p-q)}{(p+q)(p-q)} + \frac{(p+q)(p+q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{(p-q)^2}{p^2-q^2} + \frac{(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)+(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{2p^2+2q^2}{p^2-q^2} = \frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2}$.

Разность:

$\frac{p-q}{p+q} - \frac{p+q}{p-q} = \frac{(p-q)^2}{p^2-q^2} - \frac{(p+q)^2}{p^2-q^2} = \frac{(p^2-2pq+q^2)-(p^2+2pq+q^2)}{p^2-q^2} = \frac{p^2-2pq+q^2-p^2-2pq-q^2}{p^2-q^2} = \frac{-4pq}{p^2-q^2}$.

Ответ: сумма $\frac{2(p^2+q^2)}{p^2-q^2}$, разность $\frac{-4pq}{p^2-q^2}$.

г)

Для нахождения суммы и разности дробей $\frac{m}{m+4}$ и $\frac{m}{m-4}$ приведем их к общему знаменателю $(m+4)(m-4) = m^2-16$.

Сумма:

$\frac{m}{m+4} + \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{(m+4)(m-4)} + \frac{m(m+4)}{(m-4)(m+4)} = \frac{m^2-4m}{m^2-16} + \frac{m^2+4m}{m^2-16} = \frac{m^2-4m+m^2+4m}{m^2-16} = \frac{2m^2}{m^2-16}$.

Разность:

$\frac{m}{m+4} - \frac{m}{m-4} = \frac{m(m-4)}{m^2-16} - \frac{m(m+4)}{m^2-16} = \frac{(m^2-4m)-(m^2+4m)}{m^2-16} = \frac{m^2-4m-m^2-4m}{m^2-16} = \frac{-8m}{m^2-16}$.

Ответ: сумма $\frac{2m^2}{m^2-16}$, разность $\frac{-8m}{m^2-16}$.