Номер 53, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 53, страница 19.

Условие.

53 a) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy};$

Б) $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b};$

В) $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz};$

Г) $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{xy}$

Для сложения дробей их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели дробей: $x$, $y$ и $xy$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них равен $xy$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $y$, вторую — на $x$. Третья дробь уже имеет необходимый знаменатель.

$\frac{1 \cdot y}{x \cdot y} + \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} + \frac{1}{xy} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} + \frac{1}{xy}$

Теперь, когда у всех дробей одинаковый знаменатель, можно сложить их числители:

$\frac{y + x + 1}{xy}$

Ответ: $\frac{x+y+1}{xy}$

б) $\frac{1}{b^3} - \frac{2}{b^2} + \frac{1}{b}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Знаменатели: $b^3$, $b^2$, $b$. Наименьшим общим знаменателем для них является $b^3$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для второй дроби — $b$, для третьей — $b^2$.

$\frac{1}{b^3} - \frac{2 \cdot b}{b^2 \cdot b} + \frac{1 \cdot b^2}{b \cdot b^2} = \frac{1}{b^3} - \frac{2b}{b^3} + \frac{b^2}{b^3}$

Выполним сложение и вычитание числителей:

$\frac{1 - 2b + b^2}{b^3}$

Заметим, что выражение в числителе $b^2 - 2b + 1$ является формулой квадрата разности: $(b-1)^2$.

Ответ: $\frac{(b-1)^2}{b^3}$

в) $\frac{x+y}{xy} - \frac{x+z}{xz} + \frac{y+z}{yz}$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями $xy$, $xz$, $yz$. НОЗ для них будет $xyz$.

Приведем каждую дробь к новому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $z$, для второй — $y$, для третьей — $x$.

$\frac{(x+y) \cdot z}{xyz} - \frac{(x+z) \cdot y}{xyz} + \frac{(y+z) \cdot x}{xyz}$

Объединим все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителях. Важно учесть знак "минус" перед второй дробью, который изменит знаки в ее числителе.

$\frac{xz+yz - (xy+zy) + yx+zx}{xyz} = \frac{xz+yz-xy-zy+yx+zx}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $yz$ и $-zy$ взаимно уничтожаются, как и $-xy$ и $+yx$. Остается $xz+zx=2xz$.

$\frac{2xz}{xyz}$

Сократим полученную дробь на $x$ и $z$.

Ответ: $\frac{2}{y}$

г) $\frac{3x+1}{3x} - \frac{2y+1}{2y} + \frac{3x-y}{6xy}$

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $3x$, $2y$ и $6xy$ является $6xy$.

Приведем дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $2y$, для второй — $3x$.

$\frac{(3x+1) \cdot 2y}{6xy} - \frac{(2y+1) \cdot 3x}{6xy} + \frac{3x-y}{6xy}$

Запишем все под общим знаменателем, раскрыв скобки и поменяв знаки у слагаемых из числителя второй дроби:

$\frac{6xy+2y - (6xy+3x) + 3x-y}{6xy} = \frac{6xy+2y-6xy-3x+3x-y}{6xy}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $6xy$ и $-6xy$ сокращаются, $-3x$ и $+3x$ сокращаются, а $2y-y=y$.

$\frac{y}{6xy}$

Сократим полученную дробь на $y$.

Ответ: $\frac{1}{6x}$