Номер 55, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 55, страница 19.

Условие.

55 а) $\frac{2a}{3a+3} + \frac{5a}{6a+6};$

б) $\frac{m}{4m-4} - \frac{m}{12m-12};$

В) $\frac{x}{2x-2y} + \frac{3x}{8x-8y};$

Г) $\frac{4p}{9p+9q} - \frac{p}{3p+3q};$

Д) $\frac{x}{ax+ay} + \frac{y}{by+bx};$

е) $\frac{a}{cb-cd} - \frac{c}{ab-ad}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $\frac{2a}{3a+3} + \frac{5a}{6a+6}$.

Для выполнения сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$3a+3 = 3(a+1)$

$6a+6 = 6(a+1)$

Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) для знаменателей $3(a+1)$ и $6(a+1)$ является $6(a+1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:

$\frac{2a}{3(a+1)} = \frac{2a \cdot 2}{3(a+1) \cdot 2} = \frac{4a}{6(a+1)}$

Теперь, когда обе дроби имеют одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{4a}{6(a+1)} + \frac{5a}{6(a+1)} = \frac{4a+5a}{6(a+1)} = \frac{9a}{6(a+1)}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{9a}{6(a+1)} = \frac{3 \cdot 3a}{2 \cdot 3(a+1)} = \frac{3a}{2(a+1)}$

Ответ: $\frac{3a}{2(a+1)}$.

б)

Исходное выражение: $\frac{m}{4m-4} - \frac{m}{12m-12}$.

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$4m-4 = 4(m-1)$

$12m-12 = 12(m-1)$

НОЗ для $4(m-1)$ и $12(m-1)$ равен $12(m-1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее на дополнительный множитель 3:

$\frac{m}{4(m-1)} = \frac{m \cdot 3}{4(m-1) \cdot 3} = \frac{3m}{12(m-1)}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{3m}{12(m-1)} - \frac{m}{12(m-1)} = \frac{3m-m}{12(m-1)} = \frac{2m}{12(m-1)}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2m}{12(m-1)} = \frac{m}{6(m-1)}$

Ответ: $\frac{m}{6(m-1)}$.

в)

Исходное выражение: $\frac{x}{2x-2y} + \frac{3x}{8x-8y}$.

Разложим знаменатели на множители:

$2x-2y = 2(x-y)$

$8x-8y = 8(x-y)$

НОЗ для $2(x-y)$ и $8(x-y)$ равен $8(x-y)$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 4:

$\frac{x}{2(x-y)} = \frac{x \cdot 4}{2(x-y) \cdot 4} = \frac{4x}{8(x-y)}$

Сложим дроби:

$\frac{4x}{8(x-y)} + \frac{3x}{8(x-y)} = \frac{4x+3x}{8(x-y)} = \frac{7x}{8(x-y)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{7x}{8(x-y)}$.

г)

Исходное выражение: $\frac{4p}{9p+9q} - \frac{p}{3p+3q}$.

Разложим знаменатели на множители:

$9p+9q = 9(p+q)$

$3p+3q = 3(p+q)$

НОЗ для $9(p+q)$ и $3(p+q)$ равен $9(p+q)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на 3:

$\frac{p}{3(p+q)} = \frac{p \cdot 3}{3(p+q) \cdot 3} = \frac{3p}{9(p+q)}$

Выполним вычитание:

$\frac{4p}{9(p+q)} - \frac{3p}{9(p+q)} = \frac{4p-3p}{9(p+q)} = \frac{p}{9(p+q)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{p}{9(p+q)}$.

д)

Исходное выражение: $\frac{x}{ax+ay} + \frac{y}{by+bx}$.

Разложим знаменатели на множители:

$ax+ay = a(x+y)$

$by+bx = b(y+x) = b(x+y)$

НОЗ для $a(x+y)$ и $b(x+y)$ равен $ab(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$, для второй — $a$.

$\frac{x \cdot b}{a(x+y) \cdot b} + \frac{y \cdot a}{b(x+y) \cdot a} = \frac{bx}{ab(x+y)} + \frac{ay}{ab(x+y)}$

Сложим числители:

$\frac{bx+ay}{ab(x+y)}$

Полученная дробь несократима.

Ответ: $\frac{ay+bx}{ab(x+y)}$.

е)

Исходное выражение: $\frac{a}{cb-cd} - \frac{c}{ab-ad}$.

Разложим знаменатели на множители:

$cb-cd = c(b-d)$

$ab-ad = a(b-d)$

НОЗ для $c(b-d)$ и $a(b-d)$ равен $ac(b-d)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, для второй — $c$.

$\frac{a \cdot a}{c(b-d) \cdot a} - \frac{c \cdot c}{a(b-d) \cdot c} = \frac{a^2}{ac(b-d)} - \frac{c^2}{ac(b-d)}$

Выполним вычитание:

$\frac{a^2-c^2}{ac(b-d)}$

Числитель $a^2-c^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $a^2-c^2 = (a-c)(a+c)$.

$\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}$

Так как в числителе и знаменателе нет общих множителей, дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: $\frac{(a-c)(a+c)}{ac(b-d)}$.