Номер 58, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 58, страница 20.

Условие.

58 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 1) Замените знаменатель одной из дробей противоположным выражением и поменяйте знак перед этой дробью. Упростите получившееся выражение:

а) $ \frac{2x}{x-y} + \frac{2y}{y-x} $

б) $ \frac{a+b}{b-a} + \frac{a+2b}{a-b} $

в) $ \frac{m+n}{m-n} - \frac{n}{n-m} $

г) $ \frac{a-1}{a-2} - \frac{a+1}{2-a} $

Образец. а) $ \frac{2x}{x-y} + \frac{2y}{y-x} = \frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \dots $

Доведите преобразование до конца.

2) Приведите дроби к общему знаменателю, заменив у одной из них числитель и знаменатель на противоположные выражения, а затем выполните действие:

а) $ \frac{3b-a}{b-a} + \frac{4b}{a-b} $

б) $ \frac{2y+x}{x-1} + \frac{x-3y}{1-x} $

в) $ \frac{1-x}{x-y} + \frac{1-6x}{y-x} $

г) $ \frac{2m}{m-n} + \frac{3n-m}{n-m} $

Образец. а) $ \frac{3b-a}{b-a} + \frac{4b}{a-b} = \frac{a-3b}{a-b} + \frac{4b}{a-b} = \dots $

Доведите преобразование до конца.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Завершим преобразование, начатое в образце: $\frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \frac{2x - 2y}{x-y} = \frac{2(x-y)}{x-y} = 2$.
Ответ: $2$.

б) $\frac{a+b}{b-a} + \frac{a+2b}{a-b}$. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, заменим знаменатель первой дроби $b-a$ на $-(a-b)$ и вынесем минус перед дробью. Получим: $-\frac{a+b}{a-b} + \frac{a+2b}{a-b} = \frac{-(a+b) + (a+2b)}{a-b} = \frac{-a-b+a+2b}{a-b} = \frac{b}{a-b}$.
Ответ: $\frac{b}{a-b}$.

в) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{n}{n-m}$. Заменим знаменатель второй дроби $n-m$ на $-(m-n)$ и поменяем знак перед дробью с «–» на «+»: $\frac{m+n}{m-n} + \frac{n}{m-n} = \frac{m+n+n}{m-n} = \frac{m+2n}{m-n}$.
Ответ: $\frac{m+2n}{m-n}$.

г) $\frac{a-1}{a-2} - \frac{a+1}{2-a}$. Заменим знаменатель второй дроби $2-a$ на $-(a-2)$ и поменяем знак перед дробью с «–» на «+»: $\frac{a-1}{a-2} + \frac{a+1}{a-2} = \frac{a-1+a+1}{a-2} = \frac{2a}{a-2}$.
Ответ: $\frac{2a}{a-2}$.

а) Завершим преобразование, начатое в образце: $\frac{a-3b}{a-b} + \frac{4b}{a-b} = \frac{a-3b+4b}{a-b} = \frac{a+b}{a-b}$.
Ответ: $\frac{a+b}{a-b}$.

б) $\frac{2y+x}{x-1} + \frac{x-3y}{1-x}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{x-3y}{1-x} = \frac{-(x-3y)}{-(1-x)} = \frac{3y-x}{x-1}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{2y+x}{x-1} + \frac{3y-x}{x-1} = \frac{2y+x+3y-x}{x-1} = \frac{5y}{x-1}$.
Ответ: $\frac{5y}{x-1}$.

в) $\frac{1-x}{x-y} + \frac{1-6x}{y-x}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{1-6x}{y-x} = \frac{-(1-6x)}{-(y-x)} = \frac{6x-1}{x-y}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{1-x}{x-y} + \frac{6x-1}{x-y} = \frac{1-x+6x-1}{x-y} = \frac{5x}{x-y}$.
Ответ: $\frac{5x}{x-y}$.

г) $\frac{2m}{m-n} + \frac{3n-m}{n-m}$. Заменим числитель и знаменатель второй дроби на противоположные: $\frac{3n-m}{n-m} = \frac{-(3n-m)}{-(n-m)} = \frac{m-3n}{m-n}$. Тогда выражение примет вид: $\frac{2m}{m-n} + \frac{m-3n}{m-n} = \frac{2m+m-3n}{m-n} = \frac{3m-3n}{m-n} = \frac{3(m-n)}{m-n} = 3$.
Ответ: $3$.