Номер 64, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 64, страница 22.

Условие.

64 РАССУЖДАЕМ

а) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{c - c^2}{c^3 + 2c}$, чтобы получить $\frac{1}{c^2 + 2}$. Проверьте результат.

б) Найдите дробь, которую надо сложить с дробью $\frac{3}{x + 3}$, чтобы получить $\frac{3x^2}{x^3 + 27}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы найти неизвестную дробь, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Обозначим искомую дробь через $X$. Тогда получаем уравнение:

$\frac{c-c^2}{c^3+2c} + X = \frac{1}{c^2+2}$

Выразим $X$:

$X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c^3+2c}$

Для выполнения вычитания необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала упростим знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $c$ за скобки:

$c^3+2c = c(c^2+2)$

Теперь наше выражение для $X$ выглядит так:

$X = \frac{1}{c^2+2} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)}$

Общим знаменателем является $c(c^2+2)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $c$:

$X = \frac{1 \cdot c}{(c^2+2) \cdot c} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c}{c(c^2+2)} - \frac{c-c^2}{c(c^2+2)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$X = \frac{c - (c-c^2)}{c(c^2+2)} = \frac{c - c + c^2}{c(c^2+2)} = \frac{c^2}{c(c^2+2)}$

Сократим полученную дробь на $c$:

$X = \frac{c}{c^2+2}$

Проверка результата:

Сложим исходную дробь с найденной:

$\frac{c-c^2}{c^3+2c} + \frac{c}{c^2+2}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители и сократим ее:

$\frac{c(1-c)}{c(c^2+2)} + \frac{c}{c^2+2} = \frac{1-c}{c^2+2} + \frac{c}{c^2+2}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(1-c) + c}{c^2+2} = \frac{1}{c^2+2}$

Результат совпадает с заданным в условии, следовательно, искомая дробь найдена верно.

Ответ: $\frac{c}{c^2+2}$

б) Аналогично предыдущему пункту, чтобы найти искомую дробь, вычтем из суммы известное слагаемое. Пусть искомая дробь - $Y$.

$Y = \frac{3x^2}{x^3+27} - \frac{3}{x+3}$

Для приведения к общему знаменателю разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+27 = x^3+3^3 = (x+3)(x^2-x \cdot 3+3^2) = (x+3)(x^2-3x+9)$

Теперь выражение для $Y$ принимает вид:

$Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3}{x+3}$

Общий знаменатель - $(x+3)(x^2-3x+9)$. Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(x^2-3x+9)$:

$Y = \frac{3x^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} - \frac{3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Выполним вычитание дробей:

$Y = \frac{3x^2 - 3(x^2-3x+9)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:

$Y = \frac{3x^2 - 3x^2 + 9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{9x - 27}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

В числителе можно вынести общий множитель 9 за скобки:

$Y = \frac{9(x-3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}$

Это и есть искомая дробь. Знаменатель можно оставить в разложенном виде или свернуть обратно в $x^3+27$.

Ответ: $\frac{9(x-3)}{x^3+27}$