Номер 69, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 69, страница 23.

Условие.

69 Представьте в виде дроби:

a) $2x - y - \frac{2x - y^2}{y};$

Б) $1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a};$

В) $\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b;$

Г) $6 + b - \frac{12b}{6 + b};$

Д) $\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2;$

е) $\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы представить выражение $2x - y - \frac{2x - y^2}{y}$ в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю $y$.

$2x - y - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2x \cdot y}{y} - \frac{y \cdot y}{y} - \frac{2x - y^2}{y} = \frac{2xy - y^2 - (2x - y^2)}{y}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2xy - y^2 - 2x + y^2}{y} = \frac{2xy - 2x}{y}$

Ответ: $\frac{2xy - 2x}{y}$

б) Чтобы представить выражение $1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a}$ в виде дроби, приведем все его части к общему знаменателю $3+a$.

$1 - a + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{1 \cdot (3+a)}{3+a} - \frac{a(3+a)}{3+a} + \frac{a^2 - 3}{3 + a} = \frac{3+a - (3a+a^2) + a^2 - 3}{3+a}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{3+a - 3a - a^2 + a^2 - 3}{3+a} = \frac{-2a}{3+a}$

Ответ: $\frac{-2a}{a+3}$

в) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + 2a - b$ в виде дроби, приведем слагаемые $2a$ и $-b$ к общему знаменателю $2a+b$.

$\frac{a^2 + b^2}{2a + b} + \frac{2a(2a + b)}{2a + b} - \frac{b(2a + b)}{2a + b} = \frac{a^2 + b^2 + 2a(2a + b) - b(2a + b)}{2a + b}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a^2 + b^2 + 4a^2 + 2ab - 2ab - b^2}{2a + b} = \frac{5a^2}{2a + b}$

Ответ: $\frac{5a^2}{2a + b}$

г) Чтобы представить выражение $6 + b - \frac{12b}{6 + b}$ в виде дроби, приведем $6+b$ к общему знаменателю $6+b$.

$6 + b - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6+b)(6+b)}{6+b} - \frac{12b}{6 + b} = \frac{(6+b)^2 - 12b}{6+b}$

Раскроем квадрат суммы в числителе:

$\frac{36 + 12b + b^2 - 12b}{6 + b} = \frac{b^2 + 36}{6 + b}$

Ответ: $\frac{b^2 + 36}{b+6}$

д) Чтобы представить выражение $\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2$ в виде дроби, приведем слагаемые $-x$ и $-2$ к общему знаменателю $x-2$.

$\frac{x^2 + 4}{x - 2} - x - 2 = \frac{x^2 + 4}{x - 2} - (x+2) = \frac{x^2 + 4}{x-2} - \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ в числителе второй дроби:

$\frac{x^2 + 4 - (x^2 - 4)}{x - 2} = \frac{x^2 + 4 - x^2 + 4}{x - 2} = \frac{8}{x - 2}$

Ответ: $\frac{8}{x - 2}$

е) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1$ в виде дроби, приведем слагаемые $-a$ и $1$ к общему знаменателю $a-1$.

$\frac{a^2 - 3}{a - 1} - a + 1 = \frac{a^2 - 3}{a - 1} - (a-1) = \frac{a^2 - 3}{a-1} - \frac{(a-1)(a-1)}{a-1} = \frac{a^2 - 3 - (a-1)^2}{a-1}$

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ в числителе:

$\frac{a^2 - 3 - (a^2 - 2a + 1)}{a - 1} = \frac{a^2 - 3 - a^2 + 2a - 1}{a - 1} = \frac{2a - 4}{a - 1}$

Ответ: $\frac{2a - 4}{a - 1}$