Номер 76, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 76, страница 26.

Условие.

76 Как возвести в степень дробь? Выполните возведение в степень:

а) $ (\frac{x^2}{y})^3 $;

б) $ (\frac{4}{bc^3})^2 $;

в) $ (\frac{a^2b}{cd^2})^4 $;

г) $ (\frac{mn}{10p^3})^3 $;

д) $ (-\frac{2a^2}{b})^2 $;

е) $ (-\frac{x^4}{2y})^3 $;

ж) $ (-\frac{ax^3}{y^2})^2 $;

з) $ (-\frac{2}{m^2n})^5 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби. Результат возведения числителя записывается в новый числитель, а результат возведения знаменателя — в новый знаменатель. Это правило можно выразить формулой: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

При решении также используются следующие свойства степеней:
1. При возведении степени в степень, их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. При возведении произведения в степень, в эту степень возводится каждый множитель: $(ab)^n = a^n b^n$.
3. При возведении отрицательного основания в четную степень, результат будет положительным. При возведении в нечетную степень, результат будет отрицательным.

а) Для возведения дроби $(\frac{x^2}{y})^3$ в третью степень, возводим в куб числитель и знаменатель: $\frac{(x^2)^3}{y^3}$. Затем применяем свойство возведения степени в степень к числителю: $\frac{x^{2 \cdot 3}}{y^3} = \frac{x^6}{y^3}$.
Ответ: $\frac{x^6}{y^3}$

б) Возводим в квадрат числитель и знаменатель дроби $(\frac{4}{bc^3})^2$: $\frac{4^2}{(bc^3)^2}$. В знаменателе возводим в степень каждый множитель: $\frac{16}{b^2(c^3)^2} = \frac{16}{b^2c^{3 \cdot 2}} = \frac{16}{b^2c^6}$.
Ответ: $\frac{16}{b^2c^6}$

в) Возводим в четвертую степень числитель и знаменатель дроби $(\frac{a^2b}{cd^2})^4$: $\frac{(a^2b)^4}{(cd^2)^4}$. Применяем свойство степени произведения для числителя и знаменателя: $\frac{(a^2)^4 b^4}{c^4 (d^2)^4} = \frac{a^{2 \cdot 4} b^4}{c^4 d^{2 \cdot 4}} = \frac{a^8 b^4}{c^4 d^8}$.
Ответ: $\frac{a^8 b^4}{c^4 d^8}$

г) Возводим в куб числитель и знаменатель дроби $(\frac{mn}{10p^3})^3$: $\frac{(mn)^3}{(10p^3)^3}$. Раскрываем скобки в числителе и знаменателе: $\frac{m^3n^3}{10^3(p^3)^3} = \frac{m^3n^3}{1000p^{3 \cdot 3}} = \frac{m^3n^3}{1000p^9}$.
Ответ: $\frac{m^3n^3}{1000p^9}$

д) Выражение $(-\frac{2a^2}{b})^2$ возводится в четную степень (2), поэтому знак минус исчезает: $(\frac{2a^2}{b})^2$. Далее возводим в степень числитель и знаменатель: $\frac{(2a^2)^2}{b^2} = \frac{2^2(a^2)^2}{b^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}}{b^2} = \frac{4a^4}{b^2}$.
Ответ: $\frac{4a^4}{b^2}$

е) Выражение $(-\frac{x^4}{2y})^3$ возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохраняется: $-(\frac{x^4}{2y})^3$. Возводим дробь в степень: $-\frac{(x^4)^3}{(2y)^3} = -\frac{x^{4 \cdot 3}}{2^3y^3} = -\frac{x^{12}}{8y^3}$.
Ответ: $-\frac{x^{12}}{8y^3}$

ж) Выражение $(-\frac{ax^3}{y^2})^2$ возводится в четную степень (2), поэтому итоговый результат будет положительным: $(\frac{ax^3}{y^2})^2$. Возводим в степень числитель и знаменатель: $\frac{(ax^3)^2}{(y^2)^2} = \frac{a^2(x^3)^2}{y^{2 \cdot 2}} = \frac{a^2x^{3 \cdot 2}}{y^4} = \frac{a^2x^6}{y^4}$.
Ответ: $\frac{a^2x^6}{y^4}$

з) Выражение $(-\frac{2}{m^2n})^5$ возводится в нечетную степень (5), поэтому знак минус сохраняется: $-(\frac{2}{m^2n})^5$. Возводим дробь в степень: $-\frac{2^5}{(m^2n)^5} = -\frac{32}{(m^2)^5n^5} = -\frac{32}{m^{2 \cdot 5}n^5} = -\frac{32}{m^{10}n^5}$.
Ответ: $-\frac{32}{m^{10}n^5}$