Номер 75, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 75, страница 25.

Условие.

75 Выполните действия:

а) $\frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a}$;

б) $\frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y}$;

В) $\frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz}$;

Г) $\frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2}$;

Д) $\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2}$;

е) $\frac{3mn}{2pq^2} : \frac{6m^2}{pq}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно, а затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{a}{bc} \cdot \frac{c^3}{3a} = \frac{a \cdot c^3}{bc \cdot 3a}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $a$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Также сокращаем $c$ в знаменателе и одну степень $c$ в числителе (остается $c^2$).

$\frac{\cancel{a} \cdot c^2 \cdot \cancel{c}}{b\cancel{c} \cdot 3\cancel{a}} = \frac{c^2}{3b}$

Ответ: $\frac{c^2}{3b}$

б) Деление одной дроби на другую эквивалентно умножению первой дроби на дробь, обратную (перевернутую) ко второй.

$\frac{x^2}{y} : \frac{x}{2y} = \frac{x^2}{y} \cdot \frac{2y}{x} = \frac{x^2 \cdot 2y}{y \cdot x}$

Сократим общие множители. Множитель $y$ в числителе и знаменателе сокращается. Множитель $x$ в знаменателе сокращается с одной степенью $x$ в числителе (остается $x$).

$\frac{x \cdot \cancel{x} \cdot 2\cancel{y}}{\cancel{y} \cdot \cancel{x}} = 2x$

Ответ: $2x$

в) Выполняем умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели.

$\frac{x}{yz} \cdot \frac{y}{xz} = \frac{x \cdot y}{yz \cdot xz} = \frac{xy}{xyz^2}$

Сокращаем общие множители $x$ и $y$ в числителе и знаменателе.

$\frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{x}\cancel{y}z^2} = \frac{1}{z^2}$

Ответ: $\frac{1}{z^2}$

г) Заменяем операцию деления на умножение на обратную дробь.

$\frac{a^4}{b^3} : \frac{a^3}{b^2} = \frac{a^4}{b^3} \cdot \frac{b^2}{a^3} = \frac{a^4 b^2}{b^3 a^3}$

Для сокращения дроби воспользуемся свойством степеней $\frac{k^m}{k^n} = k^{m-n}$.

Для переменной $a$: $\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a^1 = a$.

Для переменной $b$: $\frac{b^2}{b^3} = b^{2-3} = b^{-1} = \frac{1}{b}$.

В результате получаем: $a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$.

Ответ: $\frac{a}{b}$

д) Выполняем умножение дробей.

$\frac{a^4b^2}{5xy} \cdot \frac{10x^3}{a^2b^2} = \frac{a^4b^2 \cdot 10x^3}{5xy \cdot a^2b^2}$

Сгруппируем и сократим множители по отдельности:
- Числовые коэффициенты: $\frac{10}{5} = 2$.
- Переменная $a$: $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2$.
- Переменная $b$: $\frac{b^2}{b^2} = 1$.
- Переменная $x$: $\frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2$.
- Переменная $y$ остается в знаменателе.

Объединяем полученные результаты: $\frac{2a^2x^2}{y}$.

Ответ: $\frac{2a^2x^2}{y}$

е) Заменяем деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{3mn}{2pq^2} : \frac{6m^2}{pq} = \frac{3mn}{2pq^2} \cdot \frac{pq}{6m^2} = \frac{3mnpq}{12m^2pq^2}$

Сгруппируем и сократим множители:
- Числовые коэффициенты: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
- Переменная $m$: $\frac{m}{m^2} = \frac{1}{m}$.
- Переменная $n$ остается в числителе.
- Переменная $p$: $\frac{p}{p} = 1$.
- Переменная $q$: $\frac{q}{q^2} = \frac{1}{q}$.

Собираем все в одну дробь: $\frac{1 \cdot n}{4 \cdot m \cdot q} = \frac{n}{4mq}$.

Ответ: $\frac{n}{4mq}$