Номер 72, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 72, страница 23.

Условие.

72 ИССЛЕДУЕМ

1) Проверьте равенства:

$ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3} $;$ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \cdot 4} $;$ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \cdot 5} $;$ \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{5 \cdot 6} $.

Продолжите эту цепочку равенств. Запишите соответствующее буквенное равенство и докажите его.

2) Примените доказанное равенство для упрощения выражений:

a) $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} $

б) $ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)} $

3) Упростите эти выражения другим способом, последовательно складывая дроби. Получился ли тот же результат?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Проверим справедливость приведенных равенств, приводя левые части к общему знаменателю:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot 3}$ (верно)
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3 \cdot 4}$ (верно)
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5-4}{4 \cdot 5} = \frac{1}{4 \cdot 5}$ (верно)
$\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6-5}{5 \cdot 6} = \frac{1}{5 \cdot 6}$ (верно)
Все равенства верны.
Продолжение этой цепочки: следующим равенством будет $\frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{1}{6 \cdot 7}$.
Соответствующее буквенное равенство (тождество) для произвольного натурального числа $n$ (или любой переменной, для которой знаменатели не равны нулю) имеет вид:
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$
Докажем его, приведя левую часть к общему знаменателю $n(n+1)$:
$\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1 \cdot (n+1)}{n(n+1)} - \frac{1 \cdot n}{n(n+1)} = \frac{n+1-n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$
Так как левая часть равна правой, равенство доказано.

2) Применим доказанное равенство для упрощения выражений.

а) Для суммы $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ заменим каждую дробь вида $\frac{1}{k(k+1)}$ на разность $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$:
$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
Это телескопическая сумма. Все промежуточные слагаемые (например, $-\frac{1}{2}$ и $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ и $+\frac{1}{3}$ и т.д.) взаимно уничтожаются. В результате остаются только первое и последнее слагаемые:
$\frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$
Ответ: $\frac{n}{n+1}$.

б) Аналогично для выражения $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \dots + \frac{1}{(x+99)(x+100)}$:
$(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}) + (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + \dots + (\frac{1}{x+99} - \frac{1}{x+100})$
После сокращения промежуточных слагаемых получаем разность первого и последнего членов:
$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+100} = \frac{1 \cdot (x+100)}{x(x+100)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+100)} = \frac{x+100-x}{x(x+100)} = \frac{100}{x(x+100)}$
Ответ: $\frac{100}{x(x+100)}$.

3) Упростим выражения другим способом, последовательно складывая дроби, чтобы проверить, совпадут ли результаты.
Для выражения из пункта а):
Сумма первых двух членов: $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Добавим третий член: $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8}{12} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
Наблюдается закономерность: сумма $k$ первых членов равна $\frac{k}{k+1}$. Следовательно, для суммы $n$ членов результат будет $\frac{n}{n+1}$.
Для выражения из пункта б):
Сумма первых двух членов: $\frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x+2}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)}$.
Добавим третий член: $\frac{2}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2(x+3)}{x(x+2)(x+3)} + \frac{x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3x+6}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)}$.
Наблюдается закономерность: сумма $k$ первых членов равна $\frac{k}{x(x+k)}$. В исходном выражении 100 слагаемых, значит итоговый результат $\frac{100}{x(x+100)}$.
Ответ: Да, для обоих выражений получились те же результаты, что и при решении первым способом.