Номер 67, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 67, страница 22.

Условие.

67 a) $\frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2}$;

Б) $\frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2}$;

В) $\frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2}$;

Г) $\frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2}$;

Д) $\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x}$;

е) $\frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $ \frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{n^2-m^2} $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $ n^2-m^2 = (n-m)(n+m) $.
Заметим, что $ n-m = -(m-n) $. Поэтому знаменатель второй дроби можно переписать как $ -(m-n)(m+n) $.
Выражение примет вид:
$ \frac{m+n}{m-n} + \frac{4mn}{-(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ (m-n)(m+n) $. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (m+n) $:
$ \frac{(m+n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2 - 4mn}{(m-n)(m+n)} $.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:
$ \frac{m^2+2mn+n^2 - 4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2-2mn+n^2}{(m-n)(m+n)} $.
Свернем числитель по формуле квадрата разности $ a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2 $:
$ \frac{(m-n)^2}{(m-n)(m+n)} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (m-n) $:
$ \frac{m-n}{m+n} $.

Ответ: $ \frac{m-n}{m+n} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{1-a}{a^2-a} - \frac{1+a}{1-a^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ a^2-a = a(a-1) $
$ 1-a^2 = (1-a)(1+a) $
Подставим разложенные знаменатели в выражение:
$ \frac{1-a}{a(a-1)} - \frac{1+a}{(1-a)(1+a)} $.
В первой дроби $ 1-a = -(a-1) $. Во второй дроби можно сократить $ (1+a) $.
$ \frac{-(a-1)}{a(a-1)} - \frac{1}{1-a} = -\frac{1}{a} - \frac{1}{1-a} $.
Приведем к общему знаменателю $ a(1-a) $:
$ -\frac{1 \cdot (1-a)}{a(1-a)} - \frac{1 \cdot a}{a(1-a)} = \frac{-(1-a) - a}{a(1-a)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{-1+a-a}{a(1-a)} = \frac{-1}{a(1-a)} $.
Можно изменить знак в знаменателе, чтобы получить более стандартный вид:
$ \frac{-1}{-a(a-1)} = \frac{1}{a(a-1)} $.

Ответ: $ \frac{1}{a(a-1)} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{b}{ab-a^2} + \frac{a}{ab-b^2} $.
Вынесем общие множители в знаменателях:
$ ab-a^2 = a(b-a) $
$ ab-b^2 = b(a-b) $
Выражение примет вид:
$ \frac{b}{a(b-a)} + \frac{a}{b(a-b)} $.
Заметим, что $ b-a = -(a-b) $. Перепишем первую дробь:
$ \frac{b}{a(-(a-b))} + \frac{a}{b(a-b)} = -\frac{b}{a(a-b)} + \frac{a}{b(a-b)} $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ ab(a-b) $:
$ -\frac{b \cdot b}{ab(a-b)} + \frac{a \cdot a}{ab(a-b)} = \frac{-b^2+a^2}{ab(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)} $.
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
$ \frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)} $.
Сократим дробь на $ (a-b) $:
$ \frac{a+b}{ab} $.

Ответ: $ \frac{a+b}{ab} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{4}{c^2-25} + \frac{2}{5c-c^2} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ c^2-25 = (c-5)(c+5) $
$ 5c-c^2 = c(5-c) $
Выражение примет вид:
$ \frac{4}{(c-5)(c+5)} + \frac{2}{c(5-c)} $.
Заметим, что $ 5-c = -(c-5) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{4}{(c-5)(c+5)} + \frac{2}{c(-(c-5))} = \frac{4}{(c-5)(c+5)} - \frac{2}{c(c-5)} $.
Общий знаменатель $ c(c-5)(c+5) $. Приведем дроби к нему:
$ \frac{4c}{c(c-5)(c+5)} - \frac{2(c+5)}{c(c-5)(c+5)} = \frac{4c-2(c+5)}{c(c-5)(c+5)} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{4c-2c-10}{c(c-5)(c+5)} = \frac{2c-10}{c(c-5)(c+5)} $.
Вынесем в числителе общий множитель 2:
$ \frac{2(c-5)}{c(c-5)(c+5)} $.
Сократим дробь на $ (c-5) $:
$ \frac{2}{c(c+5)} $.

Ответ: $ \frac{2}{c(c+5)} $

д)

Исходное выражение: $ \frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{3-x} $.
Заметим, что $ 3-x = -(x-3) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{x}{-(x-3)} = \frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x}{x-3} $.
Общий знаменатель $ (x-3)^2 $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (x-3) $:
$ \frac{x^2}{(x-3)^2} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x-3)} = \frac{x^2 - x(x-3)}{(x-3)^2} $.
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{x^2 - (x^2-3x)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - x^2 + 3x}{(x-3)^2} = \frac{3x}{(x-3)^2} $.

Ответ: $ \frac{3x}{(x-3)^2} $

е)

Исходное выражение: $ \frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{y-1} $.
Заметим, что $ y-1 = -(1-y) $. Перепишем вторую дробь:
$ \frac{y^2}{(1-y)^2} - \frac{y+1}{-(1-y)} = \frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{y+1}{1-y} $.
Общий знаменатель $ (1-y)^2 $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю:
$ \frac{y^2}{(1-y)^2} + \frac{(y+1)(1-y)}{(1-y)(1-y)} = \frac{y^2 + (y+1)(1-y)}{(1-y)^2} $.
В числителе используем формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $. В нашем случае $ (1+y)(1-y) = 1^2 - y^2 = 1-y^2 $:
$ \frac{y^2 + (1-y^2)}{(1-y)^2} = \frac{y^2+1-y^2}{(1-y)^2} = \frac{1}{(1-y)^2} $.

Ответ: $ \frac{1}{(1-y)^2} $