Номер 65, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 65, страница 22.

Условие.

Упростите выражение (65—68).

65 а) $ \frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2} $;

б) $ \frac{a - b}{a^2 + ab} - \frac{a + b}{a^2 - ab} $;

в) $ \frac{m + n}{m^2n - mn^2} - \frac{m - n}{m^2n + mn^2} $;

г) $ \frac{x + y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Исходное выражение: $ \frac{a}{ax - x^2} - \frac{a}{ax + x^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ ax - x^2 = x(a - x) $

$ ax + x^2 = x(a + x) $

Выражение принимает вид: $ \frac{a}{x(a - x)} - \frac{a}{x(a + x)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ x(a - x)(a + x) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (a + x) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (a - x) $.

$ \frac{a(a + x)}{x(a - x)(a + x)} - \frac{a(a - x)}{x(a - x)(a + x)} $

3. Выполним вычитание дробей:

$ \frac{a(a + x) - a(a - x)}{x(a - x)(a + x)} = \frac{a^2 + ax - (a^2 - ax)}{x(a^2 - x^2)} = \frac{a^2 + ax - a^2 + ax}{x(a^2 - x^2)} = \frac{2ax}{x(a^2 - x^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ x $:

$ \frac{2a}{a^2 - x^2} $

Ответ: $ \frac{2a}{a^2 - x^2} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{a-b}{a^2 + ab} - \frac{a+b}{a^2 - ab} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ a^2 + ab = a(a + b) $

$ a^2 - ab = a(a - b) $

Выражение принимает вид: $ \frac{a-b}{a(a + b)} - \frac{a+b}{a(a - b)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ a(a + b)(a - b) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (a - b) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (a + b) $.

$ \frac{(a-b)(a-b)}{a(a + b)(a - b)} - \frac{(a+b)(a+b)}{a(a + b)(a - b)} = \frac{(a-b)^2}{a(a^2 - b^2)} - \frac{(a+b)^2}{a(a^2 - b^2)} $

3. Выполним вычитание дробей и раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ \frac{(a-b)^2 - (a+b)^2}{a(a^2 - b^2)} = \frac{(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{a(a^2 - b^2)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 - a^2 - 2ab - b^2}{a(a^2 - b^2)} = \frac{-4ab}{a(a^2 - b^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ a $:

$ \frac{-4b}{a^2 - b^2} $ или $ \frac{4b}{b^2 - a^2} $

Ответ: $ \frac{-4b}{a^2 - b^2} $

в)

Исходное выражение: $ \frac{m+n}{m^2n - mn^2} - \frac{m-n}{m^2n + mn^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ m^2n - mn^2 = mn(m - n) $

$ m^2n + mn^2 = mn(m + n) $

Выражение принимает вид: $ \frac{m+n}{mn(m - n)} - \frac{m-n}{mn(m + n)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ mn(m - n)(m + n) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (m + n) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ (m - n) $.

$ \frac{(m+n)(m+n)}{mn(m - n)(m + n)} - \frac{(m-n)(m-n)}{mn(m - n)(m + n)} = \frac{(m+n)^2 - (m-n)^2}{mn(m^2-n^2)} $

3. Выполним вычитание дробей и применим в числителе формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:

$ \frac{((m+n) - (m-n))((m+n) + (m-n))}{mn(m^2-n^2)} = \frac{(m+n-m+n)(m+n+m-n)}{mn(m^2-n^2)} = \frac{(2n)(2m)}{mn(m^2-n^2)} = \frac{4mn}{mn(m^2-n^2)} $

4. Сократим полученную дробь на $ mn $:

$ \frac{4}{m^2-n^2} $

Ответ: $ \frac{4}{m^2-n^2} $

г)

Исходное выражение: $ \frac{x+y}{xy - y^2} - \frac{4x}{x^2 - y^2} $

1. Разложим на множители знаменатели дробей:

$ xy - y^2 = y(x - y) $

$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $

Выражение принимает вид: $ \frac{x+y}{y(x - y)} - \frac{4x}{(x - y)(x + y)} $

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $ y(x - y)(x + y) $.

Дополнительный множитель для первой дроби: $ (x + y) $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ y $.

$ \frac{(x+y)(x+y)}{y(x - y)(x + y)} - \frac{4x \cdot y}{y(x - y)(x + y)} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{y(x^2-y^2)} $

3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{y(x^2 - y^2)} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{y(x^2 - y^2)} $

4. Свернем числитель по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$ \frac{(x-y)^2}{y(x - y)(x + y)} $

5. Сократим полученную дробь на $ (x - y) $:

$ \frac{x-y}{y(x+y)} $

Ответ: $ \frac{x-y}{y(x+y)} $