Номер 60, страница 21 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 60, страница 21.

Условие.

60 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

а) Два восьмиклассника при выполнении самостоятельной работы получили разные ответы на задание: «Представьте выражение $ \frac{a}{b} + a $ в виде дроби». Ответ первого $ \frac{2a}{b} $, ответ второго $ \frac{a+ab}{b} $. Кто из них прав, а кто ошибся и в чём его ошибка?

б) Учитель предложил представить выражение $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 $ в виде дроби и упростить полученную дробь. Четверо учащихся начали преобразование по-разному, и каждый уверял, что он прав. Разберитесь, в каких случаях преобразования верные, а в каких нет. Доведите верные решения до конца.

1) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} = $

2) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a-2} = $

3) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a - 1) = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a - 1}{1} = $

4) $ \frac{15a^2}{3a-2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a-2} - (5a + 1) = \frac{15a^2}{3a-2} - \frac{5a + 1}{1} = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Чтобы представить выражение $ \frac{a}{b} + a $ в виде единой дроби, необходимо привести слагаемые к общему знаменателю. Представим второе слагаемое $ a $ в виде дроби со знаменателем 1: $ a = \frac{a}{1} $. Общим знаменателем для дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{1} $ является $ b $.

Приведем вторую дробь к знаменателю $ b $, домножив ее числитель и знаменатель на $ b $:

$ \frac{a}{b} + a = \frac{a}{b} + \frac{a}{1} = \frac{a}{b} + \frac{a \cdot b}{1 \cdot b} = \frac{a}{b} + \frac{ab}{b} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{a + ab}{b} $

Сравнивая этот результат с ответами учеников, мы видим, что прав второй ученик, чей ответ $ \frac{a + ab}{b} $.

Первый ученик, получивший ответ $ \frac{2a}{b} $, допустил ошибку. Его ошибка заключается в том, что он прибавил к числителю $ a $ слагаемое $ a $, не приведя его к общему знаменателю. Это распространенная ошибка, когда сложение $ \frac{a}{b} + a $ неверно выполняется как $ \frac{a+a}{b} $. Правильно было бы сначала умножить $ a $ на $ b $.

Ответ: Прав второй ученик. Ошибка первого ученика в том, что он не привел слагаемое $ a $ к общему знаменателю $ b $ перед тем, как выполнять сложение.

б)

Разберем преобразования каждого из четырех учащихся для выражения $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 $.

1) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a}{1} + \frac{1}{1} $

Это преобразование верное. Ученик представил все члены выражения в виде дробей, что является правильным первым шагом для приведения их к общему знаменателю. Доведем это решение до конца. Общий знаменатель — $ (3a - 2) $.

$ \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a(3a - 2)}{3a - 2} + \frac{1(3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 5a(3a - 2) + (3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a) + 3a - 2}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 10a + 3a - 2}{3a - 2} = \frac{13a - 2}{3a - 2} $

Ответ: Преобразование верное. Итоговый результат: $ \frac{13a - 2}{3a - 2} $.

2) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2 - 5a + 1}{3a - 2} $

Это преобразование неверное. Ученик просто записал все члены в числитель, не умножив $ -5a $ и $ +1 $ на знаменатель $ (3a-2) $. Это грубая ошибка, которая игнорирует правила приведения к общему знаменателю.

Ответ: Преобразование неверное.

3) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a - 1) $

Это преобразование верное. Ученик корректно вынес знак минус за скобки: $ -5a + 1 = -(5a - 1) $. Это правильное алгебраическое действие. Доведем это решение до конца.

$ \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{5a - 1}{1} = \frac{15a^2}{3a - 2} - \frac{(5a - 1)(3a - 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 10a - 3a + 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - (15a^2 - 13a + 2)}{3a - 2} = \frac{15a^2 - 15a^2 + 13a - 2}{3a - 2} = \frac{13a - 2}{3a - 2} $

Ответ: Преобразование верное. Итоговый результат: $ \frac{13a - 2}{3a - 2} $.

4) $ \frac{15a^2}{3a - 2} - 5a + 1 = \frac{15a^2}{3a - 2} - (5a + 1) $

Это преобразование неверное. При вынесении знака минус из выражения $ -5a + 1 $ необходимо было изменить знаки обоих слагаемых внутри скобки, т.е. $ -(5a - 1) $. Ученик не изменил знак у слагаемого $ +1 $.

Ответ: Преобразование неверное.