Номер 54, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 54, страница 19.

Условие.

Упростите выражение (54—56).

54 a) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3}$;

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)}$;

В) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$;

Г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{4}{b+3}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{4b}{3(b+3)}$ и $\frac{4}{b+3}$ равен $3(b+3)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{4}{b+3} = \frac{4 \cdot 3}{3(b+3)} = \frac{12}{3(b+3)}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{4b}{3(b+3)} + \frac{12}{3(b+3)} = \frac{4b + 12}{3(b+3)}$

В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки:

$\frac{4(b + 3)}{3(b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$ (при условии, что $b+3 \neq 0$):

$\frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

б) $\frac{x}{4(x-1)} - \frac{x}{6(x-1)}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Знаменатели $4(x-1)$ и $6(x-1)$ имеют общий множитель $(x-1)$. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6 равно 12. Таким образом, общий знаменатель равен $12(x-1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен 3, а для второй — 2:

$\frac{x \cdot 3}{4(x-1) \cdot 3} - \frac{x \cdot 2}{6(x-1) \cdot 2} = \frac{3x}{12(x-1)} - \frac{2x}{12(x-1)}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3x - 2x}{12(x-1)} = \frac{x}{12(x-1)}$

Ответ: $\frac{x}{12(x-1)}$

в) $\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$

Общий знаменатель для данных дробей равен $ab(a+b)$.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $b$, а вторую — на $a$:

$\frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)}$

Сложим дроби:

$\frac{b+a}{ab(a+b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$ (при условии, что $a+b \neq 0$):

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

г) $\frac{3x}{y(x+y)} - \frac{3y}{x(x+y)}$

Общий знаменатель для дробей равен $xy(x+y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $y$:

$\frac{3x \cdot x}{y(x+y) \cdot x} - \frac{3y \cdot y}{x(x+y) \cdot y} = \frac{3x^2}{xy(x+y)} - \frac{3y^2}{xy(x+y)}$

Выполним вычитание:

$\frac{3x^2 - 3y^2}{xy(x+y)}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки и применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\frac{3(x^2 - y^2)}{xy(x+y)} = \frac{3(x-y)(x+y)}{xy(x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):

$\frac{3(x-y)}{xy}$

Ответ: $\frac{3(x-y)}{xy}$