Номер 50, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 50, страница 19.

Условие.

50 а) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y}$;

Б) $\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1}$;

В) $\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x}$;

Г) $\frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n}$;

Д) $\frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c}$;

е) $\frac{p}{q-p} - \frac{p}{q}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x+y}$, необходимо привести их к общему знаменателю. В данном случае общим знаменателем будет произведение их знаменателей: $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{x}$ равен $(x+y)$. Для второй дроби $\frac{1}{x+y}$ дополнительный множитель равен $x$.

Выполним сложение, умножив числители на соответствующие дополнительные множители:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{x(x+y)} + \frac{1 \cdot x}{x(x+y)} = \frac{x+y+x}{x(x+y)}$

Упростим выражение в числителе:

$x+y+x = 2x+y$

Получаем итоговую дробь:

$\frac{2x+y}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{2x+y}{x(x+y)}$

б)

Приведем дроби $\frac{5}{a}$ и $\frac{3a-5}{a+1}$ к общему знаменателю $a(a+1)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+1)$, для второй — $a$.

$\frac{5}{a} + \frac{3a-5}{a+1} = \frac{5(a+1)}{a(a+1)} + \frac{a(3a-5)}{a(a+1)} = \frac{5a+5+3a^2-5a}{a(a+1)}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$5a+5+3a^2-5a = 3a^2+5$

Результат:

$\frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

Ответ: $\frac{3a^2+5}{a(a+1)}$

в)

Для вычитания дробей $\frac{x}{x+y}$ и $\frac{x-y}{x}$ приведем их к общему знаменателю $x(x+y)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $x$, для второй — $(x+y)$.

$\frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x}{x(x+y)} - \frac{(x-y)(x+y)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - (x-y)(x+y)}{x(x+y)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$x^2 - (x^2-y^2) = x^2 - x^2 + y^2 = y^2$

Результат:

$\frac{y^2}{x(x+y)}$

Ответ: $\frac{y^2}{x(x+y)}$

г)

Приведем дроби $\frac{m+n}{m}$ и $\frac{n+m}{m-n}$ к общему знаменателю $m(m-n)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(m-n)$, для второй — $m$.

$\frac{m+n}{m} - \frac{n+m}{m-n} = \frac{(m+n)(m-n)}{m(m-n)} - \frac{m(n+m)}{m(m-n)} = \frac{(m+n)(m-n) - m(m+n)}{m(m-n)}$

Упростим числитель. Используем формулу разности квадратов для $(m+n)(m-n) = m^2-n^2$ и раскроем вторые скобки:

$(m^2-n^2) - (m^2+mn) = m^2 - n^2 - m^2 - mn = -n^2 - mn$

Вынесем общий множитель $-n$ за скобки:

$-n(n+m)$

Результат:

$\frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

Ответ: $\frac{-n(n+m)}{m(m-n)}$

д)

Для вычитания дробей $\frac{2c}{c-d}$ и $\frac{c+d}{c}$ приведем их к общему знаменателю $c(c-d)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $(c-d)$.

$\frac{2c}{c-d} - \frac{c+d}{c} = \frac{2c \cdot c}{c(c-d)} - \frac{(c+d)(c-d)}{c(c-d)} = \frac{2c^2 - (c+d)(c-d)}{c(c-d)}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$2c^2 - (c^2 - d^2) = 2c^2 - c^2 + d^2 = c^2 + d^2$

Результат:

$\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

Ответ: $\frac{c^2+d^2}{c(c-d)}$

е)

Приводим дроби $\frac{p}{q-p}$ и $\frac{p}{q}$ к общему знаменателю $q(q-p)$.

Дополнительный множитель для первой дроби — $q$, для второй — $(q-p)$.

$\frac{p}{q-p} - \frac{p}{q} = \frac{p \cdot q}{q(q-p)} - \frac{p(q-p)}{q(q-p)} = \frac{pq - p(q-p)}{q(q-p)}$

Раскроем скобки в числителе:

$pq - (pq - p^2) = pq - pq + p^2 = p^2$

Результат:

$\frac{p^2}{q(q-p)}$

Ответ: $\frac{p^2}{q(q-p)}$