Номер 46, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 46, страница 18.

Условие.

46 a) $\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}$;

Б) $\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1}$;

В) $\frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n}$;

Г) $\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}$;

Д) $\frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2}$;

е) $\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $\frac{ax}{x+y} + \frac{ay}{x+y}$
Поскольку у дробей одинаковый знаменатель, для их сложения нужно сложить числители, а знаменатель оставить прежним:
$\frac{ax+ay}{x+y}$
В числителе можно вынести за скобки общий множитель $a$:
$\frac{a(x+y)}{x+y}$
Теперь сократим дробь на общий множитель $(x+y)$:
$a$
Ответ: $a$

б) $\frac{a}{a-1} - \frac{1}{a-1}$
Знаменатели дробей одинаковы, поэтому для вычитания дробей нужно вычесть их числители:
$\frac{a-1}{a-1}$
При условии, что знаменатель не равен нулю ($a-1 \neq 0$), дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице:
$1$
Ответ: $1$

в) $\frac{m^2}{m+n} - \frac{n^2}{m+n}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{m^2-n^2}{m+n}$
Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$\frac{(m-n)(m+n)}{m+n}$
Сократим дробь на общий множитель $(m+n)$:
$m-n$
Ответ: $m-n$

г) $\frac{c}{c^2-9} + \frac{3}{c^2-9}$
Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{c+3}{c^2-9}$
Знаменатель является разностью квадратов ($c^2-3^2$), разложим его на множители:
$\frac{c+3}{(c-3)(c+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(c+3)$:
$\frac{1}{c-3}$
Ответ: $\frac{1}{c-3}$

д) $\frac{2}{1-x^2} - \frac{2x}{1-x^2}$
Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{2-2x}{1-x^2}$
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки. В знаменателе применим формулу разности квадратов:
$\frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)}$
Сократим дробь на общий множитель $(1-x)$:
$\frac{2}{1+x}$
Ответ: $\frac{2}{1+x}$

е) $\frac{5p}{p^2-q^2} + \frac{5q}{p^2-q^2}$
Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{5p+5q}{p^2-q^2}$
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки. Знаменатель разложим на множители по формуле разности квадратов:
$\frac{5(p+q)}{(p-q)(p+q)}$
Сократим дробь на общий множитель $(p+q)$:
$\frac{5}{p-q}$
Ответ: $\frac{5}{p-q}$