Номер 40, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 40, страница 15.

Условие.

Сократите дробь (40–42).

40 a) $ \frac{m - n}{n - m} $;

б) $ \frac{2(x - y)}{x(y - x)} $;

в) $ \frac{a^2(a - 2)}{a(2 - a)} $;

г) $ \frac{x^2(c - x)}{cx(x - c)} $;

д) $ \frac{a(a - 3)^2}{b(3 - a)^2} $;

е) $ \frac{b^2c(b - c)}{bc(c - b)^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{m-n}{n-m}$, необходимо заметить, что числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Вынесем в знаменателе знак минус за скобки.

$n-m = -(-n+m) = -(m-n)$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{m-n}{n-m} = \frac{m-n}{-(m-n)}$

При условии, что $m \neq n$ (чтобы знаменатель не был равен нулю), мы можем сократить общий множитель $(m-n)$:

$\frac{1 \cdot (m-n)}{-1 \cdot (m-n)} = \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2(x-y)}{x(y-x)}$, вынесем в знаменателе знак минус из скобки $(y-x)$.

$y-x = -(x-y)$

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{2(x-y)}{x(y-x)} = \frac{2(x-y)}{x \cdot (-(x-y))} = \frac{2(x-y)}{-x(x-y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x-y)$ при условии, что $x \neq y$ и $x \neq 0$.

$\frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$

Ответ: $-\frac{2}{x}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2(a-2)}{a(2-a)}$, вынесем в знаменателе знак минус из выражения $(2-a)$.

$2-a = -(a-2)$

Подставим в дробь:

$\frac{a^2(a-2)}{a(2-a)} = \frac{a^2(a-2)}{a \cdot (-(a-2))} = -\frac{a^2(a-2)}{a(a-2)}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-2)$, при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq 2$.

$-\frac{a^2}{a} = -a$

Ответ: $-a$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2(c-x)}{cx(x-c)}$, вынесем в знаменателе знак минус из выражения $(x-c)$.

$x-c = -(c-x)$

Подставим в дробь:

$\frac{x^2(c-x)}{cx(x-c)} = \frac{x^2(c-x)}{cx \cdot (-(c-x))} = -\frac{x^2(c-x)}{cx(c-x)}$

Сократим общие множители $x$ и $(c-x)$, при условии, что $c \neq 0$, $x \neq 0$ и $c \neq x$.

$-\frac{x^2}{cx} = -\frac{x}{c}$

Ответ: $-\frac{x}{c}$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{a(a-3)^2}{b(3-a)^2}$, воспользуемся свойством квадрата разности: $(x-y)^2 = (y-x)^2$. Это свойство следует из того, что $(y-x)^2 = (-(x-y))^2 = (-1)^2(x-y)^2 = (x-y)^2$.

Применим это свойство к знаменателю: $(3-a)^2 = (a-3)^2$.

Подставим в дробь:

$\frac{a(a-3)^2}{b(3-a)^2} = \frac{a(a-3)^2}{b(a-3)^2}$

Сократим общий множитель $(a-3)^2$, при условии, что $b \neq 0$ и $a \neq 3$.

$\frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{b^2c(b-c)}{bc(c-b)^2}$, преобразуем выражение $(c-b)^2$ в знаменателе, используя свойство $(c-b)^2 = (b-c)^2$.

$\frac{b^2c(b-c)}{bc(c-b)^2} = \frac{b^2c(b-c)}{bc(b-c)^2}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе: $b$, $c$ и $(b-c)$. Область допустимых значений: $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $b \neq c$.

$\frac{b^2c(b-c)}{bc(b-c)^2} = \frac{b \cdot b \cdot c \cdot (b-c)}{b \cdot c \cdot (b-c) \cdot (b-c)} = \frac{b}{b-c}$

Ответ: $\frac{b}{b-c}$