Номер 36, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 36, страница 14.

Условие.

Сократите дробь (36—37).

36 а) $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}$;

в) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b}$;

д) $\frac{p^3 - p}{p^2 - p}$;

б) $\frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z}$;

г) $\frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a}$;

е) $\frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $x(x - y)(x + y)$.
В знаменателе также вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - xy = x(x - y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(x - y)(x + y)}{x(x - y)}$
Сократим общие множители $x$ и $(x - y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq y$).
В результате получаем: $x + y$.

Ответ: $x + y$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2z^2 - 8 = 2(z^2 - 4)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $2(z - 2)(z + 2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $6z$ за скобки: $6z^2 + 12z = 6z(z + 2)$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{2(z - 2)(z + 2)}{6z(z + 2)}$
Сократим общие множители 2 и $(z + 2)$ (при условии, что $z \neq 0$ и $z \neq -2$).
После сокращения получаем: $\frac{z - 2}{3z}$.

Ответ: $\frac{z - 2}{3z}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a^2 - 2ab + b^2)$. Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, числитель равен $3(a - b)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(a - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{3(a - b)^2}{6(a - b)}$
Сократим общие множители 3 и $(a - b)$ (при условии, что $a \neq b$).
Получаем: $\frac{a - b}{2}$.

Ответ: $\frac{a - b}{2}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(n + 3)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(n^2 + 6n + 9)$. Выражение в скобках является квадратом суммы $(n+3)^2$. Таким образом, знаменатель равен $a(n + 3)^2$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{a(n + 3)}{a(n + 3)^2}$
Сократим общие множители $a$ и $(n + 3)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $n \neq -3$).
В результате получаем: $\frac{1}{n + 3}$.

Ответ: $\frac{1}{n + 3}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{p^3 - p}{p^2 - p}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p(p^2 - 1)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить как $(p-1)(p+1)$. Таким образом, числитель равен $p(p - 1)(p + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p(p - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{p(p - 1)(p + 1)}{p(p - 1)}$
Сократим общие множители $p$ и $(p - 1)$ (при условии, что $p \neq 0$ и $p \neq 1$).
После сокращения получаем: $p + 1$.

Ответ: $p + 1$.

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(a + b)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, знаменатель равен $ab(a - b)(a + b)$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{ab(a + b)}{ab(a - b)(a + b)}$
Сократим общие множители $ab$ и $(a + b)$ (при условии, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$).
В результате получаем: $\frac{1}{a - b}$.

Ответ: $\frac{1}{a - b}$.