Номер 29, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 29, страница 13.

Условие.

29 a) $\frac{x^2y - xy^2}{x^2 - xy};$

б) $\frac{3ac + 6a}{ac^2 + 2ac};$

В) $\frac{m(m^2 - n^2)}{m^2n + mn^2};$

Г) $\frac{4a - 2a^2}{4b - 2ab};$

Д) $\frac{a(9 - a^2)}{3a + a^2};$

е) $\frac{ac^2 - bc^2}{c(a^2 - b^2)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2y - xy^2}{x^2 - xy}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие.
1. Разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $xy$:
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
2. Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки общий множитель $x$:
$x^2 - xy = x(x - y)$
3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{xy(x - y)}{x(x - y)}$
4. Сократим общие множители $x$ и $(x - y)$:
$\frac{y \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}} = y$
Данное упрощение возможно при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq y$.
Ответ: $y$

б) Упростим дробь $\frac{3ac + 6a}{ac^2 + 2ac}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3a$:
$3ac + 6a = 3a(c + 2)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ac$:
$ac^2 + 2ac = ac(c + 2)$
3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{3a(c + 2)}{ac(c + 2)}$
4. Сократим общие множители $a$ и $(c + 2)$:
$\frac{3\cancel{a}\cancel{(c + 2)}}{\cancel{a}c\cancel{(c + 2)}} = \frac{3}{c}$
Упрощение справедливо при $a \neq 0$, $c \neq 0$ и $c \neq -2$.
Ответ: $\frac{3}{c}$

в) Упростим дробь $\frac{m(m^2 - n^2)}{m^2n + mn^2}$.
1. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$m(m^2 - n^2) = m(m - n)(m + n)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $mn$:
$m^2n + mn^2 = mn(m + n)$
3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{m(m - n)(m + n)}{mn(m + n)}$
4. Сократим общие множители $m$ и $(m + n)$:
$\frac{\cancel{m}(m - n)\cancel{(m + n)}}{\cancel{m}n\cancel{(m + n)}} = \frac{m - n}{n}$
Упрощение возможно при $m \neq 0$, $n \neq 0$ и $m \neq -n$.
Ответ: $\frac{m - n}{n}$

г) Упростим дробь $\frac{4a - 2a^2}{4b - 2ab}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$4a - 2a^2 = 2a(2 - a)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2b$:
$4b - 2ab = 2b(2 - a)$
3. Запишем дробь с разложенными выражениями:
$\frac{2a(2 - a)}{2b(2 - a)}$
4. Сократим общие множители $2$ и $(2 - a)$:
$\frac{\cancel{2}a\cancel{(2 - a)}}{\cancel{2}b\cancel{(2 - a)}} = \frac{a}{b}$
Упрощение справедливо при $b \neq 0$ и $a \neq 2$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

д) Упростим дробь $\frac{a(9 - a^2)}{3a + a^2}$.
1. В числителе применим формулу разности квадратов для выражения $9 - a^2 = 3^2 - a^2$:
$a(9 - a^2) = a(3 - a)(3 + a)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$:
$3a + a^2 = a(3 + a)$
3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{a(3 - a)(3 + a)}{a(3 + a)}$
4. Сократим общие множители $a$ и $(3 + a)$:
$\frac{\cancel{a}(3 - a)\cancel{(3 + a)}}{\cancel{a}\cancel{(3 + a)}} = 3 - a$
Упрощение возможно при $a \neq 0$ и $a \neq -3$.
Ответ: $3 - a$

е) Упростим дробь $\frac{ac^2 - bc^2}{c(a^2 - b^2)}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $c^2$:
$ac^2 - bc^2 = c^2(a - b)$
2. В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$c(a^2 - b^2) = c(a - b)(a + b)$
3. Запишем дробь с полученными выражениями:
$\frac{c^2(a - b)}{c(a - b)(a + b)}$
4. Сократим общие множители $c$ и $(a - b)$:
$\frac{c \cdot \cancel{c} \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{c} \cdot \cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{c}{a+b}$
Упрощение справедливо при $c \neq 0$, $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Ответ: $\frac{c}{a+b}$