Номер 28, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 28, страница 12.

Условие.

28 а) $\frac{x^2 - 9y^2}{x + 3y}$;

б) $\frac{a + 2b}{a^2 + 4ab + 4b^2}$

В) $\frac{m^2 - n^2}{mn - n^2}$;

Г) $\frac{ax - ay}{x^2 - 2xy + y^2}$;

Д) $\frac{2ab - 6a}{b^2 - 6b + 9}$;

е) $\frac{5n^2 + 10n}{n^2 - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2-9y^2}{x+3y}$, разложим числитель на множители. Числитель $x^2-9y^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В нашем случае $a=x$ и $b=3y$.
$x^2-9y^2 = x^2-(3y)^2 = (x-3y)(x+3y)$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x-3y)(x+3y)}{x+3y}$.
Сократим общий множитель $(x+3y)$ в числителе и знаменателе. Получаем:
$x-3y$.
Ответ: $x-3y$

б) Рассмотрим дробь $\frac{a+2b}{a^2+4ab+4b^2}$. Знаменатель $a^2+4ab+4b^2$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$.
$a^2+4ab+4b^2 = a^2+2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = (a+2b)^2$.
Подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{a+2b}{(a+2b)^2}$.
Сократим общий множитель $(a+2b)$. В числителе останется 1, а в знаменателе $(a+2b)$.
$\frac{1}{a+2b}$.
Ответ: $\frac{1}{a+2b}$

в) Упростим выражение $\frac{m^2-n^2}{mn-n^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $m^2-n^2$ — это разность квадратов: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.
В знаменателе $mn-n^2$ вынесем общий множитель $n$ за скобки: $mn-n^2=n(m-n)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(m-n)(m+n)}{n(m-n)}$.
Сократим общий множитель $(m-n)$.
$\frac{m+n}{n}$.
Ответ: $\frac{m+n}{n}$

г) Рассмотрим дробь $\frac{ax-ay}{x^2-2xy+y^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $ax-ay$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(x-y)$.
Знаменатель $x^2-2xy+y^2$ — это полный квадрат разности, который раскладывается по формуле $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$: $(x-y)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a(x-y)}{(x-y)^2}$.
Сократим общий множитель $(x-y)$.
$\frac{a}{x-y}$.
Ответ: $\frac{a}{x-y}$

д) Упростим выражение $\frac{2ab-6a}{b^2-6b+9}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $2ab-6a$ вынесем за скобки общий множитель $2a$: $2a(b-3)$.
Знаменатель $b^2-6b+9$ является полным квадратом разности: $b^2-2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = (b-3)^2$.
Перепишем дробь в новом виде:
$\frac{2a(b-3)}{(b-3)^2}$.
Сократим общий множитель $(b-3)$.
$\frac{2a}{b-3}$.
Ответ: $\frac{2a}{b-3}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{5n^2+10n}{n^2-4}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $5n^2+10n$ вынесем за скобки общий множитель $5n$: $5n(n+2)$.
Знаменатель $n^2-4$ — это разность квадратов: $n^2-2^2 = (n-2)(n+2)$.
Запишем дробь с разложенными частями:
$\frac{5n(n+2)}{(n-2)(n+2)}$.
Сократим общий множитель $(n+2)$.
$\frac{5n}{n-2}$.
Ответ: $\frac{5n}{n-2}$