Номер 30, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.2. Основное свойство дроби. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 30, страница 13.

Условие.

30 а) $ \frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}; $

б) $ \frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}; $

в) $ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}; $

г) $ \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Знаменатель $(x+y)^2$ представляет собой квадрат суммы, который можно записать как $(x+y)(x+y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{(x-y)\sout{(x+y)}}{(x+y)\sout{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}$. Снова разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $(x-y)^2$ — это квадрат разности, который равен $(x-y)(x-y)$.
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$.
$\frac{\sout{(x-y)}(x-y)}{\sout{(x-y)}(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

в) Упростим выражение $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$. Для этого используем формулы сокращенного умножения.
Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов: $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.
Знаменатель $x^2 + 6x + 9$ — это полный квадрат суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Перепишем дробь с разложенными на множители частями:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+3)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x+3)$.
$\frac{(x-3)\sout{(x+3)}}{(x+3)\sout{(x+3)}} = \frac{x-3}{x+3}$
Ответ: $\frac{x-3}{x+3}$

г) Упростим выражение $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}$.
Числитель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В нашем случае: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.
Знаменатель $x^2 - 25$ является разностью квадратов: $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Подставим множители в дробь:
$\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25} = \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x-5)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$
Сократим общий множитель $(x-5)$.
$\frac{\sout{(x-5)}(x-5)}{\sout{(x-5)}(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}$
Ответ: $\frac{x-5}{x+5}$