Страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

29 a) $\frac{x^2y - xy^2}{x^2 - xy};$

б) $\frac{3ac + 6a}{ac^2 + 2ac};$

В) $\frac{m(m^2 - n^2)}{m^2n + mn^2};$

Г) $\frac{4a - 2a^2}{4b - 2ab};$

Д) $\frac{a(9 - a^2)}{3a + a^2};$

е) $\frac{ac^2 - bc^2}{c(a^2 - b^2)}.$

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2y - xy^2}{x^2 - xy}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие.
1. Разложим числитель на множители, вынеся за скобки общий множитель $xy$:
$x^2y - xy^2 = xy(x - y)$
2. Разложим знаменатель на множители, вынеся за скобки общий множитель $x$:
$x^2 - xy = x(x - y)$
3. Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{xy(x - y)}{x(x - y)}$
4. Сократим общие множители $x$ и $(x - y)$:
$\frac{y \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{x} \cdot \cancel{(x-y)}} = y$
Данное упрощение возможно при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq y$.
Ответ: $y$

б) Упростим дробь $\frac{3ac + 6a}{ac^2 + 2ac}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $3a$:
$3ac + 6a = 3a(c + 2)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $ac$:
$ac^2 + 2ac = ac(c + 2)$
3. Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:
$\frac{3a(c + 2)}{ac(c + 2)}$
4. Сократим общие множители $a$ и $(c + 2)$:
$\frac{3\cancel{a}\cancel{(c + 2)}}{\cancel{a}c\cancel{(c + 2)}} = \frac{3}{c}$
Упрощение справедливо при $a \neq 0$, $c \neq 0$ и $c \neq -2$.
Ответ: $\frac{3}{c}$

в) Упростим дробь $\frac{m(m^2 - n^2)}{m^2n + mn^2}$.
1. В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$m(m^2 - n^2) = m(m - n)(m + n)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $mn$:
$m^2n + mn^2 = mn(m + n)$
3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{m(m - n)(m + n)}{mn(m + n)}$
4. Сократим общие множители $m$ и $(m + n)$:
$\frac{\cancel{m}(m - n)\cancel{(m + n)}}{\cancel{m}n\cancel{(m + n)}} = \frac{m - n}{n}$
Упрощение возможно при $m \neq 0$, $n \neq 0$ и $m \neq -n$.
Ответ: $\frac{m - n}{n}$

г) Упростим дробь $\frac{4a - 2a^2}{4b - 2ab}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$4a - 2a^2 = 2a(2 - a)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2b$:
$4b - 2ab = 2b(2 - a)$
3. Запишем дробь с разложенными выражениями:
$\frac{2a(2 - a)}{2b(2 - a)}$
4. Сократим общие множители $2$ и $(2 - a)$:
$\frac{\cancel{2}a\cancel{(2 - a)}}{\cancel{2}b\cancel{(2 - a)}} = \frac{a}{b}$
Упрощение справедливо при $b \neq 0$ и $a \neq 2$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

д) Упростим дробь $\frac{a(9 - a^2)}{3a + a^2}$.
1. В числителе применим формулу разности квадратов для выражения $9 - a^2 = 3^2 - a^2$:
$a(9 - a^2) = a(3 - a)(3 + a)$
2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$:
$3a + a^2 = a(3 + a)$
3. Запишем дробь в новом виде:
$\frac{a(3 - a)(3 + a)}{a(3 + a)}$
4. Сократим общие множители $a$ и $(3 + a)$:
$\frac{\cancel{a}(3 - a)\cancel{(3 + a)}}{\cancel{a}\cancel{(3 + a)}} = 3 - a$
Упрощение возможно при $a \neq 0$ и $a \neq -3$.
Ответ: $3 - a$

е) Упростим дробь $\frac{ac^2 - bc^2}{c(a^2 - b^2)}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $c^2$:
$ac^2 - bc^2 = c^2(a - b)$
2. В знаменателе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$c(a^2 - b^2) = c(a - b)(a + b)$
3. Запишем дробь с полученными выражениями:
$\frac{c^2(a - b)}{c(a - b)(a + b)}$
4. Сократим общие множители $c$ и $(a - b)$:
$\frac{c \cdot \cancel{c} \cdot \cancel{(a-b)}}{\cancel{c} \cdot \cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{c}{a+b}$
Упрощение справедливо при $c \neq 0$, $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Ответ: $\frac{c}{a+b}$

30 а) $ \frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}; $

б) $ \frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}; $

в) $ \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}; $

г) $ \frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}. $

а) Для того чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Таким образом, $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Знаменатель $(x+y)^2$ представляет собой квадрат суммы, который можно записать как $(x+y)(x+y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x^2 - y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{(x-y)\sout{(x+y)}}{(x+y)\sout{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

б) Рассмотрим дробь $\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2}$. Снова разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $(x-y)^2$ — это квадрат разности, который равен $(x-y)(x-y)$.
Знаменатель $x^2 - y^2$ — это разность квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{(x-y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x-y)$.
$\frac{\sout{(x-y)}(x-y)}{\sout{(x-y)}(x+y)} = \frac{x-y}{x+y}$
Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

в) Упростим выражение $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$. Для этого используем формулы сокращенного умножения.
Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов: $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.
Знаменатель $x^2 + 6x + 9$ — это полный квадрат суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Перепишем дробь с разложенными на множители частями:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x+3)}$
Сокращаем дробь на общий множитель $(x+3)$.
$\frac{(x-3)\sout{(x+3)}}{(x+3)\sout{(x+3)}} = \frac{x-3}{x+3}$
Ответ: $\frac{x-3}{x+3}$

г) Упростим выражение $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25}$.
Числитель $x^2 - 10x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В нашем случае: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x-5)^2$.
Знаменатель $x^2 - 25$ является разностью квадратов: $x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)$.
Подставим множители в дробь:
$\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 25} = \frac{(x-5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{(x-5)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$
Сократим общий множитель $(x-5)$.
$\frac{\sout{(x-5)}(x-5)}{\sout{(x-5)}(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}$
Ответ: $\frac{x-5}{x+5}$

31 Восстановите запись:

a) $\frac{m}{n} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-m}{-n} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{-n}$;

б) $\frac{a}{a - b} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-a}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{-a}{b - a}$;

В) $\frac{x - z}{x - y} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{x - z}{y - x} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{x - y}$;

Г) $\frac{p - c}{p + c} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{p - c}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{\rule{1.5em}{0.4pt}} = \frac{\rule{1.5em}{0.4pt}}{-p - c}$;

а)

Рассмотрим исходное равенство: $ \frac{m}{n} = \frac{...}{-n} = -\frac{-m}{...} = -\frac{...}{-n} $.
Основное свойство дроби гласит, что значение дроби не изменится, если одновременно изменить знак числителя и знаменателя. Также верно, что $ \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B} $.
1. Чтобы равенство $ \frac{m}{n} = \frac{...}{-n} $ было верным, при смене знака знаменателя (с $ n $ на $ -n $) необходимо сменить и знак числителя (с $ m $ на $ -m $). Таким образом, в первом пропуске будет $ -m $. Получаем: $ \frac{m}{n} = \frac{-m}{-n} $.
2. Рассмотрим равенство $ \frac{m}{n} = -\frac{-m}{...} $. Знак "минус" перед дробью и "минус" в числителе взаимно уничтожаются: $ -\frac{-m}{...} = \frac{m}{...} $. Следовательно, $ \frac{m}{n} = \frac{m}{...} $. Чтобы равенство выполнялось, знаменатели должны быть равны. Значит, во втором пропуске стоит $ n $. Получаем: $ \frac{m}{n} = -\frac{-m}{n} $.
3. Рассмотрим равенство $ \frac{m}{n} = -\frac{...}{-n} $. Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе взаимно уничтожаются: $ -\frac{...}{-n} = \frac{...}{n} $. Следовательно, $ \frac{m}{n} = \frac{...}{n} $. Чтобы равенство выполнялось, числители должны быть равны. Значит, в третьем пропуске стоит $ m $. Получаем: $ \frac{m}{n} = -\frac{m}{-n} $.

Ответ: $ \frac{m}{n} = \frac{-m}{-n} = -\frac{-m}{n} = -\frac{m}{-n} $

б)

Рассмотрим равенство: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...} = -\frac{-a}{...} = -\frac{...}{b-a} $.
1. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{...} $ числитель изменил знак (с $ a $ на $ -a $). Чтобы сохранить значение дроби, нужно изменить знак и у знаменателя: $ -(a-b) = -a+b = b-a $. В первом пропуске будет $ b-a $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a} $.
2. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{...} $ знаки "минус" перед дробью и в числителе взаимно уничтожаются, то есть $ -\frac{-a}{...} = \frac{a}{...} $. Значит, $ \frac{a}{a-b} = \frac{a}{...} $. Так как числители равны, должны быть равны и знаменатели. Во втором пропуске будет $ a-b $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = -\frac{-a}{a-b} $.
3. В равенстве $ \frac{a}{a-b} = -\frac{...}{b-a} $ обратим внимание на знаменатель $ b-a = -(a-b) $. Тогда $ -\frac{...}{b-a} = -\frac{...}{-(a-b)} = \frac{...}{a-b} $. Значит, $ \frac{a}{a-b} = \frac{...}{a-b} $. Так как знаменатели равны, должны быть равны и числители. В третьем пропуске будет $ a $. Получаем: $ \frac{a}{a-b} = -\frac{a}{b-a} $.

Ответ: $ \frac{a}{a-b} = \frac{-a}{b-a} = -\frac{-a}{a-b} = -\frac{a}{b-a} $

в)

Рассмотрим равенство: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x} = -\frac{x-z}{...} = -\frac{...}{x-y} $.
1. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{...}{y-x} $ знаменатель изменил знак, так как $ y-x = -(x-y) $. Следовательно, числитель также должен изменить знак: $ -(x-z) = z-x $. В первом пропуске будет $ z-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x} $.
2. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{...} $ знак "минус" стоит перед дробью. Чтобы равенство было верным, знак можно "перенести" в знаменатель. То есть, $ -\frac{x-z}{...} $ должно быть равно $ \frac{x-z}{-(...)} $. Сравнивая с исходной дробью, видим, что числители $ x-z $ совпадают. Значит, должны совпадать и знаменатели: $ x-y = -(...) $. Отсюда следует, что в пропуске должно стоять $ -(x-y) = y-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{x-z}{y-x} $.
3. В равенстве $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{...}{x-y} $ знак "минус" стоит перед дробью. Чтобы равенство было верным, знак можно "перенести" в числитель. То есть, $ -\frac{...}{x-y} $ должно быть равно $ \frac{-(...)}{x-y} $. Сравнивая с исходной дробью, видим, что знаменатели $ x-y $ совпадают. Значит, должны совпадать и числители: $ x-z = -(...) $. Отсюда следует, что в пропуске должно стоять $ -(x-z) = z-x $. Получаем: $ \frac{x-z}{x-y} = -\frac{z-x}{x-y} $.

Ответ: $ \frac{x-z}{x-y} = \frac{z-x}{y-x} = -\frac{x-z}{y-x} = -\frac{z-x}{x-y} $

г)

Рассмотрим равенство: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c} = -\frac{p-c}{...} = \frac{...}{-p-c} $.
1. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{...}{p+c} $ знак "минус" стоит перед дробью, а знаменатели одинаковы. Значит, "минус" относится к числителю: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{-(...)}{p+c} $. Следовательно, $ p-c = -(...) $, и в пропуске должно стоять $ -(p-c) = c-p $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c} $.
2. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{...} $ знак "минус" стоит перед дробью, а числители одинаковы. Значит, "минус" относится к знаменателю: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{p-c}{-(...)} $. Следовательно, $ p+c = -(...) $, и в пропуске должно стоять $ -(p+c) = -p-c $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c} $.
3. В равенстве $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{...}{-p-c} $ знаменатель изменил знак, так как $ -p-c = -(p+c) $. Чтобы дробь осталась равной исходной, нужно изменить знак и у числителя: $ -(p-c) = c-p $. В пропуске будет $ c-p $. Получаем: $ \frac{p-c}{p+c} = \frac{c-p}{-p-c} $.

Ответ: $ \frac{p-c}{p+c} = -\frac{c-p}{p+c} = -\frac{p-c}{-p-c} = \frac{c-p}{-p-c} $

32 Какие из следующих выражений равны дроби $\frac{x}{y}$?

1) $\frac{-x}{-y}$

2) $-\frac{-x}{y}$

3) $-\frac{x}{y}$

4) $\frac{-x}{y}$

Для того чтобы определить, какие из предложенных выражений равны дроби $\frac{x}{y}$, необходимо упростить каждое из них, используя правила работы со знаками в дробях.

1) $\frac{-x}{-y}$
В данном выражении и числитель, и знаменатель являются отрицательными. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Минусы в числителе и знаменателе сокращаются:
$\frac{-x}{-y} = \frac{(-1) \cdot x}{(-1) \cdot y} = \frac{x}{y}$.
Следовательно, это выражение равно исходной дроби.
Ответ: данное выражение равно $\frac{x}{y}$.

2) $-\frac{-x}{-y}$
Сначала упростим дробь $\frac{-x}{-y}$. Как показано в пункте 1, она равна $\frac{x}{y}$. Затем применим знак "минус", стоящий перед дробью:
$-\frac{-x}{-y} = -(\frac{-x}{-y}) = -(\frac{x}{y}) = -\frac{x}{y}$.
Это выражение не равно исходной дроби (за исключением случая $x=0$).
Ответ: данное выражение не равно $\frac{x}{y}$.

3) $-\frac{-x}{y}$
В этом выражении есть знак "минус" перед дробью и знак "минус" в числителе. Произведение двух минусов дает плюс ($- \cdot - = +$):
$-\frac{-x}{y} = (-1) \cdot \frac{-x}{y} = \frac{(-1) \cdot (-x)}{y} = \frac{x}{y}$.
Следовательно, это выражение равно исходной дроби.
Ответ: данное выражение равно $\frac{x}{y}$.

4) $-\frac{x}{y}$
Это выражение представляет собой дробь, противоположную по знаку исходной. Оно не равно $\frac{x}{y}$ (за исключением случая $x=0$).
Ответ: данное выражение не равно $\frac{x}{y}$.

Таким образом, выражения, равные дроби $\frac{x}{y}$, — это выражения под номерами 1 и 3.

33 Замените выражение равным ему так, чтобы перед дробью не было знака «минус»:

а) $-\frac{a-b}{a-c}$;

б) $-\frac{-x-1}{x+2}$;

в) $-\frac{m-n}{mn}$;

г) $-\frac{2x^2}{x-y}$.

Образец.

Способ 1. $-\frac{a-3}{a-1} = \frac{-(a-3)}{a-1} = \frac{3-a}{a-1}$.

Способ 2. $-\frac{a-3}{a-1} = \frac{a-3}{-(a-1)} = \frac{a-3}{1-a}$.

Основное правило, которое используется для решения этой задачи, заключается в том, что знак "минус" перед дробью можно внести либо в числитель, либо в знаменатель, изменив их знаки на противоположные. То есть, $ - \frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} $.

а) Чтобы убрать знак "минус" перед дробью $ - \frac{a-b}{a-c} $, мы можем внести его в знаменатель. Это означает, что мы умножаем выражение в знаменателе $(a-c)$ на $-1$.

$ - \frac{a-b}{a-c} = \frac{a-b}{-(a-c)} = \frac{a-b}{-a+c} = \frac{a-b}{c-a} $

Также можно было внести минус в числитель: $ - \frac{a-b}{a-c} = \frac{-(a-b)}{a-c} = \frac{b-a}{a-c} $. Оба варианта верны.

Ответ: $ \frac{a-b}{c-a} $

б) В выражении $ - \frac{-x-1}{x+2} $ внесем знак "минус", стоящий перед дробью, в числитель. Это означает, что мы умножим числитель $(-x-1)$ на $-1$.

$ - \frac{-x-1}{x+2} = \frac{-(-x-1)}{x+2} = \frac{x+1}{x+2} $

Ответ: $ \frac{x+1}{x+2} $

в) Рассмотрим выражение $ - \frac{m-n}{mn} $. Чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, внесем его в числитель.

$ - \frac{m-n}{mn} = \frac{-(m-n)}{mn} = \frac{-m+n}{mn} = \frac{n-m}{mn} $

Другой возможный вариант — внести минус в знаменатель: $ \frac{m-n}{-mn} $.

Ответ: $ \frac{n-m}{mn} $

г) Для выражения $ - \frac{2x^2}{x-y} $ применим тот же принцип. Внесем знак "минус" в знаменатель, чтобы изменить порядок вычитания.

$ - \frac{2x^2}{x-y} = \frac{2x^2}{-(x-y)} = \frac{2x^2}{-x+y} = \frac{2x^2}{y-x} $

Альтернативно, можно внести минус в числитель: $ \frac{-2x^2}{x-y} $.

Ответ: $ \frac{2x^2}{y-x} $

34 Замените выражение равным ему так, чтобы перед дробью стоял знак «минус»:

а) $ \frac{x}{1-y}; $

б) $ \frac{a-5}{a}; $

в) $ \frac{m-n}{m-p}; $

г) $ \frac{x+y}{x-z}; $

д) $ \frac{a+p}{b+p}; $

е) $ \frac{-b-c}{a-c}. $

Для решения этой задачи используется основное свойство дроби: $ \frac{A}{B} = - \frac{-A}{B} = - \frac{A}{-B} $. Чтобы поставить знак «минус» перед дробью, нужно изменить знак либо у числителя, либо у знаменателя этой дроби на противоположный.

В выражении $ \frac{x}{1-y} $ изменим знак знаменателя $ (1-y) $ на противоположный: $ -(1-y) = -1+y = y-1 $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{x}{1-y} = - \frac{x}{-(1-y)} = - \frac{x}{y-1} $.

Ответ: $ - \frac{x}{y-1} $.

В выражении $ \frac{a-5}{a} $ изменим знак числителя $ (a-5) $ на противоположный: $ -(a-5) = -a+5 = 5-a $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{a-5}{a} = - \frac{-(a-5)}{a} = - \frac{5-a}{a} $.

Ответ: $ - \frac{5-a}{a} $.

В выражении $ \frac{m-n}{m-p} $ изменим знак знаменателя $ (m-p) $ на противоположный: $ -(m-p) = -m+p = p-m $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{m-n}{m-p} = - \frac{m-n}{-(m-p)} = - \frac{m-n}{p-m} $.

Ответ: $ - \frac{m-n}{p-m} $.

В выражении $ \frac{x+y}{x-z} $ изменим знак знаменателя $ (x-z) $ на противоположный: $ -(x-z) = -x+z = z-x $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{x+y}{x-z} = - \frac{x+y}{-(x-z)} = - \frac{x+y}{z-x} $.

Ответ: $ - \frac{x+y}{z-x} $.

В выражении $ \frac{a+p}{b+p} $ изменим знак числителя $ (a+p) $ на противоположный: $ -(a+p) = -a-p $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{a+p}{b+p} = - \frac{-(a+p)}{b+p} = - \frac{-a-p}{b+p} $.

Ответ: $ - \frac{-a-p}{b+p} $.

В выражении $ \frac{-b-c}{a-c} $ изменим знак числителя $ (-b-c) $ на противоположный: $ -(-b-c) = b+c $. Затем поставим знак «минус» перед всей дробью.

$ \frac{-b-c}{a-c} = - \frac{-(-b-c)}{a-c} = - \frac{b+c}{a-c} $.

Ответ: $ - \frac{b+c}{a-c} $.

Б

35.

В футляр цилиндрической формы уложены 3 теннисных мяча так, что они касаются крышек и стенок футляра (рис. 1.3). Какую часть объёма футляра занимают мячи?

Рис. 1.3

(При решении пользуйтесь формулами объёма шара и объёма цилиндра: $V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r$ — радиус шара; $V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания цилиндра и $h$ — его высота.)

Указание. Выразите высоту $h$ через радиус $r$.

b) В коробку уложены 3 банки консервов цилиндрической формы так, что они касаются друг друга и всех стенок коробки (рис. 1.4). Какую часть объёма коробки занимают банки? Выразите ответ обыкновенной дробью, считая, что $\pi \approx 3$.

Рис. 1.4

a) Пусть $r$ — это радиус одного теннисного мяча. Так как мячи касаются стенок цилиндрического футляра, радиус основания футляра также равен $r$.

В футляр уложены 3 мяча, они касаются друг друга, а также верхней и нижней крышек футляра. Это означает, что высота футляра $h$ равна сумме диаметров трех мячей. Диаметр одного мяча составляет $2r$. Следовательно, высота футляра: $h = 3 \times 2r = 6r$.

Объем одного теннисного мяча (шара) вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$. Общий объем трех мячей равен: $V_{3 \text{ шара}} = 3 \times V_{шара} = 3 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 4\pi r^3$.

Объем футляра (цилиндра) вычисляется по формуле $V_{цилиндра} = \pi r^2h$. Подставим в нее значения радиуса основания ($r$) и высоты ($h=6r$): $V_{цилиндра} = \pi r^2 (6r) = 6\pi r^3$.

Чтобы найти, какую часть объема футляра занимают мячи, необходимо найти отношение общего объема мячей к объему футляра: $\frac{V_{3 \text{ шара}}}{V_{цилиндра}} = \frac{4\pi r^3}{6\pi r^3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: мячи занимают $\frac{2}{3}$ объема футляра.

б) Пусть $r$ — радиус основания одной консервной банки (которая имеет форму цилиндра), а $h$ — ее высота.

В коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, уложены 3 банки в один ряд. Они касаются друг друга и всех стенок коробки. Определим размеры коробки через $r$ и $h$.

• Высота коробки равна высоте банки, то есть $h$.
• Ширина коробки равна диаметру основания банки, то есть $2r$.
• Длина коробки равна сумме диаметров трех банок, то есть $3 \times 2r = 6r$.

Объем одной банки (цилиндра) равен $V_{банки} = \pi r^2h$. Общий объем трех банок составляет: $V_{3 \text{ банки}} = 3 \times V_{банки} = 3\pi r^2h$.

Объем коробки (прямоугольного параллелепипеда) равен произведению ее длины, ширины и высоты: $V_{коробки} = (6r) \times (2r) \times h = 12r^2h$.

Чтобы найти, какую часть объема коробки занимают банки, найдем отношение общего объема банок к объему коробки: $\frac{V_{3 \text{ банки}}}{V_{коробки}} = \frac{3\pi r^2h}{12r^2h} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

Согласно условию, необходимо считать, что $\pi \approx 3$. Подставим это значение в полученное выражение: $\frac{\pi}{4} \approx \frac{3}{4}$.

Ответ: банки занимают $\frac{3}{4}$ объема коробки.