Страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сократите дробь (36—37).

36 а) $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}$;

в) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b}$;

д) $\frac{p^3 - p}{p^2 - p}$;

б) $\frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z}$;

г) $\frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a}$;

е) $\frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 - xy}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем: $x(x - y)(x + y)$.
В знаменателе также вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^2 - xy = x(x - y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(x - y)(x + y)}{x(x - y)}$
Сократим общие множители $x$ и $(x - y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq y$).
В результате получаем: $x + y$.

Ответ: $x + y$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2z^2 - 8}{6z^2 + 12z}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2z^2 - 8 = 2(z^2 - 4)$. Выражение в скобках является разностью квадратов: $2(z - 2)(z + 2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $6z$ за скобки: $6z^2 + 12z = 6z(z + 2)$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{2(z - 2)(z + 2)}{6z(z + 2)}$
Сократим общие множители 2 и $(z + 2)$ (при условии, что $z \neq 0$ и $z \neq -2$).
После сокращения получаем: $\frac{z - 2}{3z}$.

Ответ: $\frac{z - 2}{3z}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a - 6b}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a^2 - 2ab + b^2)$. Выражение в скобках является квадратом разности $(a-b)^2$. Таким образом, числитель равен $3(a - b)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель 6 за скобки: $6(a - b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{3(a - b)^2}{6(a - b)}$
Сократим общие множители 3 и $(a - b)$ (при условии, что $a \neq b$).
Получаем: $\frac{a - b}{2}$.

Ответ: $\frac{a - b}{2}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{an + 3a}{an^2 + 6an + 9a}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(n + 3)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(n^2 + 6n + 9)$. Выражение в скобках является квадратом суммы $(n+3)^2$. Таким образом, знаменатель равен $a(n + 3)^2$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{a(n + 3)}{a(n + 3)^2}$
Сократим общие множители $a$ и $(n + 3)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $n \neq -3$).
В результате получаем: $\frac{1}{n + 3}$.

Ответ: $\frac{1}{n + 3}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{p^3 - p}{p^2 - p}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p(p^2 - 1)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить как $(p-1)(p+1)$. Таким образом, числитель равен $p(p - 1)(p + 1)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p(p - 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{p(p - 1)(p + 1)}{p(p - 1)}$
Сократим общие множители $p$ и $(p - 1)$ (при условии, что $p \neq 0$ и $p \neq 1$).
После сокращения получаем: $p + 1$.

Ответ: $p + 1$.

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{a^2b + ab^2}{a^3b - ab^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(a + b)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $ab$ за скобки: $ab(a^2 - b^2)$. Выражение в скобках является разностью квадратов, которую можно разложить как $(a-b)(a+b)$. Таким образом, знаменатель равен $ab(a - b)(a + b)$.
Запишем дробь с разложенными множителями:
$\frac{ab(a + b)}{ab(a - b)(a + b)}$
Сократим общие множители $ab$ и $(a + b)$ (при условии, что $a \neq 0, b \neq 0, a \neq b, a \neq -b$).
В результате получаем: $\frac{1}{a - b}$.

Ответ: $\frac{1}{a - b}$.

37 а) $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2};$

Б) $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2};$

В) $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3};$

Г) $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2};$

Д) $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2};$

е) $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4}.$

Подсказка. Могут потребоваться формулы

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).$

а) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель. Для числителя используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Для знаменателя используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$

Теперь можно сократить общий множитель $(x - y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{\sout{(x - y)}(x + y)} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$

б) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2}$, разложим числитель по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{x^3 - y^3}{(x - y)^2} = \frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)^2}$

Сократим общий множитель $(x - y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)^{\sout{2}}1} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x - y}$

в) Чтобы упростить дробь $\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3}$, разложим знаменатель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(x + y)^2}{x^3 + y^3} = \frac{(x + y)^2}{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x + y)$:

$\frac{(x + y)^{\sout{2}}1}{\sout{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)} = \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

Ответ: $\frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$

г) Чтобы упростить дробь $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - x^2y + xy^2}$, разложим числитель по формуле суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В знаменателе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 - x^2y + xy^2 = x(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x(x^2 - xy + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$:

$\frac{(x + y)\sout{(x^2 - xy + y^2)}}{x\sout{(x^2 - xy + y^2)}} = \frac{x + y}{x}$

Ответ: $\frac{x + y}{x}$

д) Чтобы упростить дробь $\frac{x^2 - y^2}{(x - y)^2(x + y)^2}$, разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2(x + y)^2}$

Сократим общие множители $(x - y)$ и $(x + y)$:

$\frac{\sout{(x - y)}}{\sout{(x - y)^2}(x-y)} \cdot \frac{\sout{(x + y)}}{\sout{(x + y)^2}(x+y)} = \frac{1}{(x-y)(x+y)}$

Знаменатель можно записать в свернутом виде как разность квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $\frac{1}{x^2 - y^2}$

е) Чтобы упростить дробь $\frac{(x - y)^2(x + y)^2}{x^4 - y^4}$, преобразуем числитель и знаменатель. В числителе сгруппируем множители: $(x - y)^2(x + y)^2 = ((x - y)(x + y))^2 = (x^2 - y^2)^2$. Знаменатель $x^4 - y^4$ разложим как разность квадратов: $(x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(x^2 - y^2)^2}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}$

Сократим общий множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{(x^2 - y^2)^{\sout{2}}1}{\sout{(x^2 - y^2)}(x^2 + y^2)} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

Ответ: $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

38 Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и сократите её:

а) $\frac{ax - ay}{ax + bx - ay - by}$;

б) $\frac{mn - pq + mq - pn}{pq + pn}$;

В) $\frac{ab + 1 + a + b}{ab + a}$;

Г) $\frac{ax + ay - x^2 - xy}{ab + ac - bx - cx}$;

Д) $\frac{x^2 + 2xy + y^2 - z^2}{x + y + z}$;

Е) $\frac{a^2 + b^2 - 2ab - c^2}{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc}$.

а) $\frac{ax - ay}{ax + bx - ay - by}$

Разложим на множители числитель. Для этого вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ax - ay = a(x - y)$

Разложим на множители знаменатель. Для этого сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (x - y)(a + b)$

Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем и сократим её на общий множитель $(x - y)$:

$\frac{a(x - y)}{(a + b)(x - y)} = \frac{a}{a + b}$

Ответ: $\frac{a}{a + b}$

б) $\frac{mn - pq + mq - pn}{pq + pn}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$mn - pq + mq - pn = (mn + mq) - (pq + pn) = m(n + q) - p(q + n) = (m - p)(n + q)$

Разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$pq + pn = p(q + n)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(n + q)$:

$\frac{(m - p)(n + q)}{p(n + q)} = \frac{m - p}{p}$

Ответ: $\frac{m - p}{p}$

в) $\frac{ab + 1 + a + b}{ab + a}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ab + 1 + a + b = (ab + a) + (b + 1) = a(b + 1) + 1(b + 1) = (a + 1)(b + 1)$

Разложим на множители знаменатель. Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$ab + a = a(b + 1)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(b + 1)$:

$\frac{(a + 1)(b + 1)}{a(b + 1)} = \frac{a + 1}{a}$

Ответ: $\frac{a + 1}{a}$

г) $\frac{ax + ay - x^2 - xy}{ab + ac - bx - cx}$

Разложим на множители числитель, используя метод группировки:

$ax + ay - x^2 - xy = (ax + ay) - (x^2 + xy) = a(x + y) - x(x + y) = (a - x)(x + y)$

Разложим на множители знаменатель, также используя метод группировки:

$ab + ac - bx - cx = (ab + ac) - (bx + cx) = a(b + c) - x(b + c) = (a - x)(b + c)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(a - x)$:

$\frac{(a - x)(x + y)}{(a - x)(b + c)} = \frac{x + y}{b + c}$

Ответ: $\frac{x + y}{b + c}$

д) $\frac{x^2 + 2xy + y^2 - z^2}{x + y + z}$

Разложим на множители числитель. Первые три слагаемых образуют формулу сокращенного умножения - квадрат суммы $(x+y)^2$. Затем применим формулу разности квадратов:

$x^2 + 2xy + y^2 - z^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - z^2 = (x + y)^2 - z^2 = (x + y - z)(x + y + z)$

Знаменатель $x + y + z$ уже является простым множителем.

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(x + y + z)$:

$\frac{(x + y - z)(x + y + z)}{x + y + z} = x + y - z$

Ответ: $x + y - z$

е) $\frac{a^2 + b^2 - 2ab - c^2}{a^2 - b^2 - c^2 - 2bc}$

Разложим на множители числитель. Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить квадрат разности, а затем применим формулу разности квадратов:

$a^2 + b^2 - 2ab - c^2 = (a^2 - 2ab + b^2) - c^2 = (a - b)^2 - c^2 = (a - b - c)(a - b + c)$

Разложим на множители знаменатель. Перегруппируем слагаемые, вынесем минус за скобку, чтобы выделить квадрат суммы, а затем применим формулу разности квадратов:

$a^2 - b^2 - c^2 - 2bc = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - (b + c)^2 = (a - (b + c))(a + (b + c)) = (a - b - c)(a + b + c)$

Запишем дробь и сократим её на общий множитель $(a - b - c)$:

$\frac{(a - b - c)(a - b + c)}{(a - b - c)(a + b + c)} = \frac{a - b + c}{a + b + c}$

Ответ: $\frac{a - b + c}{a + b + c}$

39 Выпишите выражения, равные дроби $\frac{p+a}{p-b}$.

$\frac{p+a}{b-p}$;$-\frac{-p-a}{p-b}$;$-\frac{-p-a}{p-b}$;$-\frac{p+a}{b-p}$;
$-\frac{p-a}{p-b}$;$-\frac{-p-a}{b-p}$;$-\frac{-p-a}{b-p}$;$\frac{p-a}{b-p}$.

Чтобы определить, какие из предложенных выражений равны дроби $\frac{p+a}{p-b}$, мы преобразуем каждое выражение, используя основные свойства дробей: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$ и $-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$.

$\frac{p+a}{b-p}$

Преобразуем знаменатель дроби, вынеся за скобки $-1$: $b-p = -(p-b)$.
Тогда дробь примет вид $\frac{p+a}{-(p-b)}$, что равносильно выражению $-\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$-\frac{-p-a}{p-b}$

Преобразуем числитель дроби, вынеся за скобки $-1$: $-p-a = -(p+a)$.
Выражение примет вид $-\frac{-(p+a)}{p-b}$.
Минус перед дробью и минус в числителе взаимно уничтожаются, в результате чего получаем $\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$\frac{-p-a}{p-b}$

Преобразуем числитель дроби, вынеся за скобки $-1$: $-p-a = -(p+a)$.
Дробь примет вид $\frac{-(p+a)}{p-b}$, что равносильно выражению $-\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$-\frac{p+a}{b-p}$

Преобразуем знаменатель дроби, вынеся за скобки $-1$: $b-p = -(p-b)$.
Выражение примет вид $-\frac{p+a}{-(p-b)}$.
Минус перед дробью и минус в знаменателе взаимно уничтожаются, в результате чего получаем $\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$-\frac{p-a}{p-b}$

Числитель $p-a$ в общем случае не равен $p+a$ или $-(p+a)$. Поэтому данное выражение не может быть тождественно равно исходной дроби.
Ответ: не равно.

$-\frac{-p-a}{b-p}$

Преобразуем числитель и знаменатель, вынеся в каждом $-1$: $-p-a = -(p+a)$ и $b-p = -(p-b)$.
Выражение примет вид $-\frac{-(p+a)}{-(p-b)}$.
Минусы в числителе и знаменателе сокращаются, но минус перед дробью остается: $-\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение не равно исходному.
Ответ: не равно.

$\frac{-p-a}{b-p}$

Преобразуем числитель и знаменатель, вынеся в каждом $-1$: $-p-a = -(p+a)$ и $b-p = -(p-b)$.
Выражение примет вид $\frac{-(p+a)}{-(p-b)}$.
Минусы в числителе и знаменателе сокращаются, в результате чего получаем $\frac{p+a}{p-b}$.
Это выражение равно исходному.
Ответ: равно.

$\frac{p-a}{b-p}$

Числитель $p-a$ в общем случае не равен $p+a$ или $-(p+a)$. Преобразование знаменателя $b-p = -(p-b)$ дает дробь $\frac{p-a}{-(p-b)} = -\frac{p-a}{p-b}$, которая не равна исходной.
Ответ: не равно.