Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

12 Упростите дробь и найдите её значение при указанных значениях переменных:

а) $ \frac{x^2 - xy + y^2 - (x - y)^2}{x + y} $ при $ x = 0,3 $ и $ y = 0,5; $

б) $ \frac{m - 4}{(m + n)^2 - (m - n)^2} $ при $ m = \frac{2}{3} $ и $ n = -\frac{3}{4}; $

В) $ \frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b} $ при $ a = 0,74 $ и $ b = -0,26; $

Г) $ \frac{cd}{2(c - d)(c + d) - (c - d)^2 + 4d^2} $ при $ c = -1 $ и $ d = 11. $

а)

Сначала упростим выражение $\frac{x^2 - xy + y^2 - (x-y)^2}{x+y}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - xy + y^2 - (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 - xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(x^2 - x^2) + (-xy + 2xy) + (y^2 - y^2) = xy$.

Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{xy}{x+y}$.

Теперь подставим заданные значения $x = 0,3$ и $y = 0,5$ в упрощенное выражение:
$\frac{0,3 \cdot 0,5}{0,3 + 0,5} = \frac{0,15}{0,8} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$.

б)

Сначала упростим выражение $\frac{m-4}{(m+n)^2 - (m-n)^2}$.

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(m+n)^2 - (m-n)^2 = ((m+n)-(m-n))((m+n)+(m-n)) = (m+n-m+n)(m+n+m-n) = (2n)(2m) = 4mn$.

Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{m-4}{4mn}$.

Теперь подставим заданные значения $m = \frac{2}{3}$ и $n = -\frac{3}{4}$ в упрощенное выражение:
$\frac{\frac{2}{3}-4}{4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{4})} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{12}{3}}{\frac{4 \cdot 2 \cdot (-3)}{3 \cdot 4}} = \frac{-\frac{10}{3}}{-2} = (-\frac{10}{3}) \div (-2) = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

в)

Сначала упростим выражение $\frac{(a+b)^2 - 4ab}{a+b}$.

Преобразуем числитель. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата разности $(a-b)^2$.
Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{(a-b)^2}{a+b}$.

Теперь подставим заданные значения $a = 0,74$ и $b = -0,26$. Сначала вычислим значения $a-b$ и $a+b$:
$a-b = 0,74 - (-0,26) = 0,74 + 0,26 = 1$.
$a+b = 0,74 + (-0,26) = 0,74 - 0,26 = 0,48$.

Подставляем эти значения в дробь:
$\frac{1^2}{0,48} = \frac{1}{0,48} = \frac{100}{48} = \frac{25}{12}$.

Ответ: $\frac{25}{12}$.

г)

Сначала упростим выражение $\frac{cd}{2(c-d)(c+d) - (c-d)^2 + 4d^2}$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулу разности квадратов $(c-d)(c+d) = c^2-d^2$ и формулу квадрата разности $(c-d)^2 = c^2-2cd+d^2$:
$2(c^2-d^2) - (c^2-2cd+d^2) + 4d^2 = 2c^2 - 2d^2 - c^2 + 2cd - d^2 + 4d^2$.

Приведем подобные слагаемые в знаменателе:
$(2c^2 - c^2) + 2cd + (-2d^2 - d^2 + 4d^2) = c^2 + 2cd + d^2$.

Полученное выражение является формулой квадрата суммы $(c+d)^2$.
Таким образом, исходная дробь упрощается до $\frac{cd}{(c+d)^2}$.

Теперь подставим заданные значения $c = -1$ и $d = 11$ в упрощенное выражение:
$\frac{(-1) \cdot 11}{(-1 + 11)^2} = \frac{-11}{10^2} = \frac{-11}{100} = -0,11$.

Ответ: $-0,11$.

13 Найдите допустимые значения переменной для дроби:

а) $$(a+1)(a+3) \over 2a(a-4)$$

б) $$4c \over (c-5)(2c-4)$$

в) $$(2x-3) \over 2x^2+10x$$

г) $$5a \over a^2-36$$

д) $$(b+3) \over b^2-6b+9$$

е) $$(2n-5) \over 4n^2+4n+1$$

Допустимые значения переменной для дроби — это все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. Чтобы найти эти значения, для каждой дроби нужно приравнять ее знаменатель к нулю, решить полученное уравнение и исключить найденные корни из множества всех чисел.

а)

Рассмотрим дробь $ \frac{(a+1)(a+3)}{2a(a-4)} $. Ее знаменатель равен $ 2a(a-4) $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2a(a-4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$2a = 0$ или $a-4=0$

Решая эти уравнения, получаем:

$a = 0$ или $a = 4$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме 0 и 4.

Ответ: $a \neq 0, a \neq 4$.

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{4c}{(c-5)(2c-4)} $. Ее знаменатель равен $ (c-5)(2c-4) $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(c-5)(2c-4) = 0$

Получаем два уравнения:

$c-5=0$ или $2c-4=0$

Решая их, находим:

$c = 5$ или $2c = 4 \implies c = 2$

Таким образом, переменная c может принимать любые значения, кроме 2 и 5.

Ответ: $c \neq 2, c \neq 5$.

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{2x-3}{2x^2+10x} $. Ее знаменатель равен $ 2x^2+10x $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2x^2+10x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x+5) = 0$

Получаем два уравнения:

$2x=0$ или $x+5=0$

Решая их, находим:

$x = 0$ или $x = -5$

Таким образом, переменная x может принимать любые значения, кроме 0 и -5.

Ответ: $x \neq 0, x \neq -5$.

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{5a}{a^2-36} $. Ее знаменатель равен $ a^2-36 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a^2-36 = 0$

Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$(a-6)(a+6) = 0$

Получаем два уравнения:

$a-6=0$ или $a+6=0$

Решая их, находим:

$a = 6$ или $a = -6$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -6 и 6.

Ответ: $a \neq -6, a \neq 6$.

д)

Рассмотрим дробь $ \frac{b+3}{b^2-6b+9} $. Ее знаменатель равен $ b^2-6b+9 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$b^2-6b+9 = 0$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$(b-3)^2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$b-3 = 0 \implies b=3$

Таким образом, переменная b может принимать любые значения, кроме 3.

Ответ: $b \neq 3$.

е)

Рассмотрим дробь $ \frac{2n-5}{4n^2+4n+1} $. Ее знаменатель равен $ 4n^2+4n+1 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4n^2+4n+1 = 0$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(2n+1)^2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$2n+1 = 0 \implies 2n = -1 \implies n = -\frac{1}{2}$

Таким образом, переменная n может принимать любые значения, кроме $ -\frac{1}{2} $.

Ответ: $n \neq -\frac{1}{2}$.

РАССУЖДАЕМ (14–15)

14 Укажите несколько пар значений переменных, при которых выражение не имеет смысла:

а) $ \frac{x+y}{x-y} $;

б) $ \frac{a-b}{ab} $;

в) $ \frac{ab}{(a-2)(b-3)} $;

г) $ \frac{2c}{ac-12} $.

а) Алгебраическое выражение в виде дроби $\frac{x+y}{x-y}$ не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Знаменатель данной дроби равен $x-y$. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения переменных: $x-y=0$ Это равенство верно, когда $x=y$. Следовательно, любая пара, в которой значения переменных $x$ и $y$ равны, сделает выражение бессмысленным. Например, подходят следующие пары: $x=1, y=1$ или $x=-5, y=-5$.
Ответ: например, $x=1, y=1$; $x=-5, y=-5$.

б) Выражение $\frac{a-b}{ab}$ не имеет смысла, когда его знаменатель $ab$ равен нулю. Произведение двух переменных равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. То есть, $ab=0$ при $a=0$ или при $b=0$. Таким образом, если одна из переменных равна нулю, а другая принимает любое значение, выражение не будет иметь смысла. Например, подходят следующие пары: $a=0, b=10$ или $a=-3, b=0$.
Ответ: например, $a=0, b=10$; $a=-3, b=0$.

в) Выражение $\frac{ab}{(a-2)(b-3)}$ не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Знаменатель в данном случае — это произведение $(a-2)(b-3)$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, нам нужно решить два уравнения: $a-2=0$ или $b-3=0$ Из первого уравнения находим $a=2$. В этом случае переменная $b$ может принимать любое значение. Из второго уравнения находим $b=3$. В этом случае переменная $a$ может принимать любое значение. Примеры пар, при которых выражение не имеет смысла: $a=2, b=1$ (так как $a-2=0$) или $a=7, b=3$ (так как $b-3=0$).
Ответ: например, $a=2, b=1$; $a=7, b=3$.

г) Выражение $\frac{2c}{ac-12}$ не имеет смысла, когда его знаменатель $ac-12$ равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю: $ac-12=0$ $ac=12$ Следовательно, выражение не имеет смысла для любой пары значений $a$ и $c$, произведение которых равно 12. Например, можно подобрать такие целочисленные пары: $a=2, c=6$ или $a=3, c=4$ или $a=-12, c=-1$.
Ответ: например, $a=2, c=6$; $a=3, c=4$.

15 Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь: 1) не имеет смысла; 2) равна 0:

а) $ \frac{x+y}{x^2+y^2} $;

б) $ \frac{x^2+y^2}{x+y} $;

в) $ \frac{x+y}{x^2-y^2} $.

а) Для дроби $\frac{x+y}{x^2+y^2}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x^2+y^2=0$. Так как квадраты действительных чисел являются неотрицательными ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть, $x^2=0$ и $y^2=0$, что возможно только при $x=0$ и $y=0$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Условие для числителя: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Проверим знаменатель при этом условии: $x^2+y^2 = x^2+(-x)^2 = x^2+x^2 = 2x^2$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x^2 \ne 0$, что означает $x \ne 0$. Следовательно, можно подобрать любые значения, где $x$ — любое ненулевое число, а $y=-x$. Например, если $x=1$, то $y=-1$.

Ответ: 1) при $x=0, y=0$; 2) возможно, например, при $x=1, y=-1$.

б) Для дроби $\frac{x^2+y^2}{x+y}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Можно подобрать любые значения, удовлетворяющие этому условию. Например, если $x=2$, то $y=-2$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x^2+y^2=0$. Это равенство выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Однако при этих значениях знаменатель $x+y$ тоже обращается в нуль: $0+0=0$. Таким образом, невозможно найти такие значения переменных, при которых числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Следовательно, подобрать такие значения невозможно.

Ответ: 1) возможно, например, при $x=2, y=-2$; 2) невозможно.

в) Для дроби $\frac{x+y}{x^2-y^2}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x^2-y^2=0$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y)=0$. Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x-y=0$ (то есть $x=y$), либо $x+y=0$ (то есть $y=-x$). Можно подобрать любые значения, удовлетворяющие любому из этих условий. Например, $x=3, y=3$ (так как $x=y$).

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Подставим это условие в знаменатель: $x^2-y^2 = x^2-(-x)^2 = x^2-x^2 = 0$. Оказывается, что при всех значениях переменных, которые обращают числитель в нуль (кроме тривиального случая $x=y=0$), знаменатель также обращается в нуль. Таким образом, невозможно удовлетворить условию, что числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Следовательно, подобрать такие значения невозможно.

Ответ: 1) возможно, например, при $x=3, y=3$ (или любых $x, y$ таких, что $x=y$ или $x=-y$); 2) невозможно.

16 Выясните, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ при $x=0$; $x=1$; $x=-1$; $x=\frac{1}{2}$. Если имеет, то найдите его значение.

Для того, чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение не определено, если знаменатель какой-либо из дробей в его составе равен нулю.

1. В выражении присутствует дробь $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ также не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых он обращается в ноль:

$x - \frac{1}{x} = 0$

$x = \frac{1}{x}$

$x^2 = 1$

$x = 1$ или $x = -1$.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Теперь проверим каждое из предложенных значений.

при x = 0;

При $x=0$ в выражении возникает деление на ноль в члене $\frac{1}{x}$. Поскольку деление на ноль является недопустимой операцией, всё выражение теряет смысл.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = 1;

При $x=1$ знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$. Деление на ноль не определено.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = -1;

При $x=-1$ знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $-1 - \frac{1}{-1} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$. Деление на ноль не определено.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = 1/2;

При $x = \frac{1}{2}$ значение не совпадает ни с одним из недопустимых значений ($0, 1, -1$), следовательно, выражение имеет смысл. Найдем его значение, подставив $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{2}-1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2}-1+2}{\frac{1}{2}-2}$

Вычислим числитель: $\frac{1}{2}-1+2 = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$.

Вычислим знаменатель: $\frac{1}{2}-2 = -\frac{3}{2}$.

Найдем значение выражения: $\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} = -1$.

Ответ: выражение имеет смысл, его значение равно -1.

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (17–18)

17 Выразите из формулы:

а) $l' = l(1 + \alpha\tau)$ переменные $l$ и $\tau$;

б) $Q = cm(t_2 - t_1)$ переменные $m, t_2$ и $t_1$.

а) Из формулы $l' = l(1 + \alpha\tau)$ выразим переменные $l$ и $\tau$.

Чтобы выразить $l$, необходимо рассматривать $(1 + \alpha\tau)$ как единый множитель. Разделим обе части уравнения на этот множитель:

$l = \frac{l'}{1 + \alpha\tau}$

Чтобы выразить $\tau$, выполним следующие преобразования:

1. Разделим обе части исходного уравнения на $l$:

$\frac{l'}{l} = 1 + \alpha\tau$

2. Перенесем 1 в левую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{l'}{l} - 1 = \alpha\tau$

3. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{l' - l}{l} = \alpha\tau$

4. Разделим обе части на $\alpha$, чтобы найти $\tau$:

$\tau = \frac{l' - l}{l\alpha}$

Ответ: $l = \frac{l'}{1 + \alpha\tau}$; $\tau = \frac{l' - l}{l\alpha}$

б) Из формулы $Q = cm(t_2 - t_1)$ выразим переменные $m$, $t_2$ и $t_1$.

Чтобы выразить $m$, рассмотрим $c$ и $(t_2 - t_1)$ как множители при $m$. Разделим обе части уравнения на $c(t_2 - t_1)$:

$m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}$

Чтобы выразить $t_2$, выполним следующие шаги:

1. Разделим обе части исходного уравнения на $cm$:

$\frac{Q}{cm} = t_2 - t_1$

2. Перенесем $t_1$ в левую часть, изменив знак на противоположный, чтобы выразить $t_2$:

$t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1$

Чтобы выразить $t_1$, начнем с того же шага, что и для $t_2$:

1. $\frac{Q}{cm} = t_2 - t_1$

2. Теперь, чтобы получить $t_1$ с положительным знаком, можно перенести его в левую часть, а дробь $\frac{Q}{cm}$ — в правую:

$t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$

Ответ: $m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}$; $t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1$; $t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$

ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ (17–18)

17 Выразите из формулы:

а) $l' = l(1 + \alpha \tau)$ переменные $l$ и $\tau$;

б) $Q = cm(t_2 - t_1)$ переменные $m, t_2$ и $t_1$.

18 а) Площадь поверхности параллелепипеда можно найти по формуле $S = 2(ab + bc + ac)$ (рис. 1.1). Выразите из этой формулы высоту параллелепипеда $c$.

б) Площадь поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 1.2) можно найти по формуле $S = 2\pi r(r + h)$. Выразите из этой формулы высоту цилиндра $h$.

19 Исследуем 1) Сравните значения выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ при $x = -2, y = 5$ и при $x = 5, y = -2$.

Изменится ли данное выражение, если вместо переменной $x$ подставить переменную $y$, а вме-

17 а)

Дана формула: $l' = l(1 + \alpha\tau)$

1. Выразим переменную $l$. Для этого разделим обе части уравнения на $(1 + \alpha\tau)$:

$\frac{l'}{1 + \alpha\tau} = l$

Ответ: $l = \frac{l'}{1 + \alpha\tau}$

2. Выразим переменную $\tau$. Сначала разделим обе части исходной формулы на $l$:

$\frac{l'}{l} = 1 + \alpha\tau$

Теперь вычтем 1 из обеих частей:

$\frac{l'}{l} - 1 = \alpha\tau$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{l' - l}{l} = \alpha\tau$

Наконец, разделим обе части на $\alpha$:

$\frac{l' - l}{l\alpha} = \tau$

Ответ: $\tau = \frac{l' - l}{\alpha l}$

17 б)

Дана формула: $Q = cm(t_2 - t_1)$

1. Выразим переменную $m$. Для этого разделим обе части уравнения на $c(t_2 - t_1)$:

$\frac{Q}{c(t_2 - t_1)} = m$

Ответ: $m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}$

2. Выразим переменную $t_2$. Сначала разделим обе части на $cm$:

$\frac{Q}{cm} = t_2 - t_1$

Теперь прибавим $t_1$ к обеим частям:

$\frac{Q}{cm} + t_1 = t_2$

Ответ: $t_2 = \frac{Q}{cm} + t_1$

3. Выразим переменную $t_1$. Из шага 2 мы знаем, что $\frac{Q}{cm} = t_2 - t_1$.

Перенесем $t_1$ в левую часть, а $\frac{Q}{cm}$ в правую, изменив их знаки:

$t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$

Ответ: $t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$

18 а)

Дана формула площади поверхности параллелепипеда: $S = 2(ab + bc + ac)$.

Чтобы выразить высоту $c$, сначала разделим обе части на 2:

$\frac{S}{2} = ab + bc + ac$

Перенесем слагаемое $ab$ в левую часть:

$\frac{S}{2} - ab = bc + ac$

В правой части вынесем $c$ за скобки:

$\frac{S}{2} - ab = c(b + a)$

Чтобы найти $c$, разделим левую часть на $(a+b)$:

$c = \frac{\frac{S}{2} - ab}{a+b}$

Упростим выражение, представив числитель в виде одной дроби:

$c = \frac{\frac{S - 2ab}{2}}{a+b} = \frac{S - 2ab}{2(a+b)}$

Ответ: $c = \frac{S - 2ab}{2(a+b)}$

18 б)

Дана формула площади поверхности цилиндра: $S = 2\pi r(r + h)$.

Чтобы выразить высоту $h$, сначала разделим обе части уравнения на $2\pi r$:

$\frac{S}{2\pi r} = r + h$

Теперь вычтем $r$ из обеих частей уравнения:

$\frac{S}{2\pi r} - r = h$

Ответ: $h = \frac{S}{2\pi r} - r$

19

Дано выражение: $\frac{x^2 + y^2}{xy}$

1) Сравните значения выражения

Подставим значения при $x = -2, y = 5$:

$\frac{(-2)^2 + 5^2}{(-2) \cdot 5} = \frac{4 + 25}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$

Подставим значения при $x = 5, y = -2$:

$\frac{5^2 + (-2)^2}{5 \cdot (-2)} = \frac{25 + 4}{-10} = \frac{29}{-10} = -2.9$

Значения выражения в обоих случаях равны.

Ответ: Значения равны и составляют -2.9.

Изменится ли данное выражение, если вместо переменной x подставить переменную y, а вместо y подставить x?

Исходное выражение: $\frac{x^2 + y^2}{xy}$.

Если поменять местами $x$ и $y$, получим выражение: $\frac{y^2 + x^2}{yx}$.

Так как сложение и умножение обладают свойством коммутативности (переместительности), то $x^2 + y^2 = y^2 + x^2$ и $xy = yx$.

Следовательно, выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ и $\frac{y^2 + x^2}{yx}$ тождественно равны.

Ответ: Нет, значение выражения не изменится.