Номер 15, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 15, страница 8.

Условие.

15 Подберите, если возможно, такие значения переменных, при которых дробь: 1) не имеет смысла; 2) равна 0:

а) $ \frac{x+y}{x^2+y^2} $;

б) $ \frac{x^2+y^2}{x+y} $;

в) $ \frac{x+y}{x^2-y^2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для дроби $\frac{x+y}{x^2+y^2}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x^2+y^2=0$. Так как квадраты действительных чисел являются неотрицательными ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю. То есть, $x^2=0$ и $y^2=0$, что возможно только при $x=0$ и $y=0$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Условие для числителя: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Проверим знаменатель при этом условии: $x^2+y^2 = x^2+(-x)^2 = x^2+x^2 = 2x^2$. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x^2 \ne 0$, что означает $x \ne 0$. Следовательно, можно подобрать любые значения, где $x$ — любое ненулевое число, а $y=-x$. Например, если $x=1$, то $y=-1$.

Ответ: 1) при $x=0, y=0$; 2) возможно, например, при $x=1, y=-1$.

б) Для дроби $\frac{x^2+y^2}{x+y}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Можно подобрать любые значения, удовлетворяющие этому условию. Например, если $x=2$, то $y=-2$.

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x^2+y^2=0$. Это равенство выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Однако при этих значениях знаменатель $x+y$ тоже обращается в нуль: $0+0=0$. Таким образом, невозможно найти такие значения переменных, при которых числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Следовательно, подобрать такие значения невозможно.

Ответ: 1) возможно, например, при $x=2, y=-2$; 2) невозможно.

в) Для дроби $\frac{x+y}{x^2-y^2}$:

1) Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Условие: $x^2-y^2=0$. Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y)=0$. Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x-y=0$ (то есть $x=y$), либо $x+y=0$ (то есть $y=-x$). Можно подобрать любые значения, удовлетворяющие любому из этих условий. Например, $x=3, y=3$ (так как $x=y$).

2) Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие для числителя: $x+y=0$, откуда $y=-x$. Подставим это условие в знаменатель: $x^2-y^2 = x^2-(-x)^2 = x^2-x^2 = 0$. Оказывается, что при всех значениях переменных, которые обращают числитель в нуль (кроме тривиального случая $x=y=0$), знаменатель также обращается в нуль. Таким образом, невозможно удовлетворить условию, что числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Следовательно, подобрать такие значения невозможно.

Ответ: 1) возможно, например, при $x=3, y=3$ (или любых $x, y$ таких, что $x=y$ или $x=-y$); 2) невозможно.