Номер 16, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 16, страница 8.

Условие.

16 Выясните, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$ при $x=0$; $x=1$; $x=-1$; $x=\frac{1}{2}$. Если имеет, то найдите его значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для того, чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение $\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение не определено, если знаменатель какой-либо из дробей в его составе равен нулю.

1. В выражении присутствует дробь $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

2. Знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ также не может быть равен нулю. Найдем значения $x$, при которых он обращается в ноль:

$x - \frac{1}{x} = 0$

$x = \frac{1}{x}$

$x^2 = 1$

$x = 1$ или $x = -1$.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x=0$, $x=1$ и $x=-1$. Теперь проверим каждое из предложенных значений.

при x = 0;

При $x=0$ в выражении возникает деление на ноль в члене $\frac{1}{x}$. Поскольку деление на ноль является недопустимой операцией, всё выражение теряет смысл.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = 1;

При $x=1$ знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $1 - \frac{1}{1} = 1 - 1 = 0$. Деление на ноль не определено.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = -1;

При $x=-1$ знаменатель основной дроби $x - \frac{1}{x}$ становится равным $-1 - \frac{1}{-1} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$. Деление на ноль не определено.

Ответ: выражение не имеет смысла.

x = 1/2;

При $x = \frac{1}{2}$ значение не совпадает ни с одним из недопустимых значений ($0, 1, -1$), следовательно, выражение имеет смысл. Найдем его значение, подставив $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{x-1+\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}} = \frac{\frac{1}{2}-1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2}-1+2}{\frac{1}{2}-2}$

Вычислим числитель: $\frac{1}{2}-1+2 = -\frac{1}{2}+2 = \frac{3}{2}$.

Вычислим знаменатель: $\frac{1}{2}-2 = -\frac{3}{2}$.

Найдем значение выражения: $\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}} = -1$.

Ответ: выражение имеет смысл, его значение равно -1.