Номер 13, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

1.1. Что такое алгебраическая дробь. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 13, страница 8.

Условие.

13 Найдите допустимые значения переменной для дроби:

а) $$(a+1)(a+3) \over 2a(a-4)$$

б) $$4c \over (c-5)(2c-4)$$

в) $$(2x-3) \over 2x^2+10x$$

г) $$5a \over a^2-36$$

д) $$(b+3) \over b^2-6b+9$$

е) $$(2n-5) \over 4n^2+4n+1$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Допустимые значения переменной для дроби — это все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. Чтобы найти эти значения, для каждой дроби нужно приравнять ее знаменатель к нулю, решить полученное уравнение и исключить найденные корни из множества всех чисел.

а)

Рассмотрим дробь $ \frac{(a+1)(a+3)}{2a(a-4)} $. Ее знаменатель равен $ 2a(a-4) $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2a(a-4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$2a = 0$ или $a-4=0$

Решая эти уравнения, получаем:

$a = 0$ или $a = 4$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме 0 и 4.

Ответ: $a \neq 0, a \neq 4$.

б)

Рассмотрим дробь $ \frac{4c}{(c-5)(2c-4)} $. Ее знаменатель равен $ (c-5)(2c-4) $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(c-5)(2c-4) = 0$

Получаем два уравнения:

$c-5=0$ или $2c-4=0$

Решая их, находим:

$c = 5$ или $2c = 4 \implies c = 2$

Таким образом, переменная c может принимать любые значения, кроме 2 и 5.

Ответ: $c \neq 2, c \neq 5$.

в)

Рассмотрим дробь $ \frac{2x-3}{2x^2+10x} $. Ее знаменатель равен $ 2x^2+10x $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$2x^2+10x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x+5) = 0$

Получаем два уравнения:

$2x=0$ или $x+5=0$

Решая их, находим:

$x = 0$ или $x = -5$

Таким образом, переменная x может принимать любые значения, кроме 0 и -5.

Ответ: $x \neq 0, x \neq -5$.

г)

Рассмотрим дробь $ \frac{5a}{a^2-36} $. Ее знаменатель равен $ a^2-36 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$a^2-36 = 0$

Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$(a-6)(a+6) = 0$

Получаем два уравнения:

$a-6=0$ или $a+6=0$

Решая их, находим:

$a = 6$ или $a = -6$

Таким образом, переменная a может принимать любые значения, кроме -6 и 6.

Ответ: $a \neq -6, a \neq 6$.

д)

Рассмотрим дробь $ \frac{b+3}{b^2-6b+9} $. Ее знаменатель равен $ b^2-6b+9 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$b^2-6b+9 = 0$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:

$(b-3)^2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$b-3 = 0 \implies b=3$

Таким образом, переменная b может принимать любые значения, кроме 3.

Ответ: $b \neq 3$.

е)

Рассмотрим дробь $ \frac{2n-5}{4n^2+4n+1} $. Ее знаменатель равен $ 4n^2+4n+1 $.

Приравняем знаменатель к нулю:

$4n^2+4n+1 = 0$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:

$(2n+1)^2 = 0$

Решая уравнение, получаем:

$2n+1 = 0 \implies 2n = -1 \implies n = -\frac{1}{2}$

Таким образом, переменная n может принимать любые значения, кроме $ -\frac{1}{2} $.

Ответ: $n \neq -\frac{1}{2}$.