Номер 8, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Дорофеев, Суворова

Глава 1. Алгебраические дроби. 1.1. Что такое алгебраическая дробь - номер 8, страница 7.

Условие.

8 Иcпользуя данные выражения, составьте две дроби и найдите допустимые значения переменной для каждой из них:

а) $p^2 + 1$ и $p+1$;

б) $(c+1)^2$ и $c^2 + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Из выражений $p^2 + 1$ и $p + 1$ можно составить две дроби. Найдем допустимые значения переменной для каждой из них.

1. Первая дробь: $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$

Допустимые значения переменной (область определения) для дроби определяются условием, что ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $p + 1$.

Найдем значения $p$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$p + 1 = 0$

$p = -1$

Следовательно, чтобы дробь имела смысл, необходимо исключить это значение. Допустимые значения для переменной $p$ — это все числа, кроме $-1$.

2. Вторая дробь: $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$

Знаменатель этой дроби равен $p^2 + 1$. Найдем значения $p$, при которых он равен нулю:

$p^2 + 1 = 0$

$p^2 = -1$

Данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа ($p^2$) всегда неотрицателен ($p^2 \ge 0$). Поэтому выражение $p^2 + 1$ всегда будет больше или равно 1, и никогда не обратится в ноль.

Следовательно, дробь определена при любых значениях $p$.

Ответ: для дроби $\frac{p^2 + 1}{p + 1}$ допустимые значения $p \neq -1$; для дроби $\frac{p + 1}{p^2 + 1}$ допустимы любые действительные значения $p$.

б)

Из выражений $(c + 1)^2$ и $c^2 + 1$ можно составить две дроби. Найдем допустимые значения переменной для каждой из них.

1. Первая дробь: $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$

Знаменатель дроби равен $c^2 + 1$. Как и в пункте а), выражение $c^2 + 1$ не может быть равно нулю, так как $c^2 \ge 0$ для любого действительного числа $c$, а значит $c^2 + 1 \ge 1$.

Знаменатель никогда не обращается в ноль, поэтому дробь определена при любых значениях $c$.

2. Вторая дробь: $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$

Знаменатель этой дроби равен $(c + 1)^2$. Найдем значения $c$, при которых он равен нулю:

$(c + 1)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$c + 1 = 0$

$c = -1$

Чтобы дробь имела смысл, необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $c \neq -1$.

Ответ: для дроби $\frac{(c + 1)^2}{c^2 + 1}$ допустимы любые действительные значения $c$; для дроби $\frac{c^2 + 1}{(c + 1)^2}$ допустимые значения $c \neq -1$.